จุดกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น

     ทฤษฎีความน่าจะเป็น (Theory of Probability) เป็นหัวใจของการเรียนสถิติ เช่นเดียวกับทฤษฎีลิมิตของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นหัวใจของการเรียนและทำความเข้าใจ Calculus และ Analysis ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีประโยชน์ในด้านสถิติ ฟิสิกส์ ธุรกิจประกันภัย การเมือง การทหาร การทำสงคราม และการพยากรณ์อากาศ จุดกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็นมาจากปัญหาของการแบ่งเงินเดิมพัน (Problem of the points) ซึ่งถูกเสนอโดย Fra Luca Pacioli ในปีคริสตศักราช 1494 สมัยนั้นมีผู้เสนอคำตอบ เช่น Cardano และ Tartaglia แต่คำตอบไม่เป็นที่ยอมรับ ปัญหานี้จึงถูกนำเสนอต่อไปที่ปาสกาล (Pascal) ในปีคริสตศักราช 1654 ปาสคาลสนใจปัญหานี้ และได้ปรึกษาหารือปัญหานี้ร่วมกับแฟร์มา (Fermat) ทั้งคู่ได้คำตอบเดียวกัน แต่วิธีทำคนละวิธี

ปัญหาของการแบ่งเงินเดิมพันเป็นดังนี้

     เกมหนึ่งมีผู้เล่นสองคนคือ A และ B ทั้งคู่มีความสามารถในการเล่นเกมนี้พอ ๆ กัน เกมนี้แต่ละเกมไม่มีการเสมอ ต้องเล่นกันจนรู้แพ้รู้ชนะ เงินเดิมพันเป็นเงินจำนวนหนึ่ง หลังจากเล่นเกมไปได้ระยะหนึ่ง เกมต้องหยุดการแข่งขัน เล่นต่อไปไม่ได้ โดยที่ A ต้องการชนะอีกสองเกมจึงจะชนะการแข่งขัน ส่วน B ต้องการชนะอีกสามเกมจึงจะชนะการแข่งขัน คำถามก็คือ เมื่อเหตุการณ์เป็นเช่นนี้ จะแบ่งเงินเดิมพันกันอย่างไรดีจึงจะยุติธรรม

     วิธีการที่แฟร์มาและปาสกาลเสนอจนได้คำตอบที่นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่ายุติธรรมนั้นได้ถูกพัฒนาต่อไปจนกลายเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น (Theory of Probability) ซึ่งเป็นเรื่องที่แทรกอยู่ในหลายสาขา

     เรื่องความน่าจะเป็นนี้นอกจากจะใช้ในวิชาชีพชั้นสูงแล้ว เราใช้เสมอในชีวิตประจำวัน เช่น ในเรื่องของการพยากรณ์อากาศว่าวันนี้ฝนจะตก 80% ของพื้นที่ ทำให้เราสามารถเตรียมการสำหรับการเดินทางไปทำงาน หรือในช่วงที่มีโรคระบาดเกิดขึ้น ทำให้เราต้องตัดสินใจซื้อประกันสุขภาพ แม้แต่การเดินทางในช่วงเทศกาลซึ่งมีโอกาสเกิดอุบัติเหตุค่อนข้างสูง ทำให้เราตัดสินใจไม่เดินทางในช่วงนั้น จะเห็นว่าความน่าจะเป็นช่วยเราในเรื่องการตัดสินใจได้มากกว่าว่าจะทำหรือไม่ทำ (go or not go)

     เรามาดูคำตอบของแฟร์มาและการแสดงให้เห็นวิธีคิด ซึ่งทำให้เข้าใจได้ว่าทำไมจึงเรียกปัญหานี้ว่า Problem of the Points

     จากปัญหานี้ แฟร์มาให้เหตุผลว่าต้องเล่นอีกอย่างมากสุด 4 เกมจึงรู้ผลแพ้ชนะกัน ให้ a แทนเกมที่ A ชนะ และ b แทนเกมที่ B ชนะ ดังนั้น จะมีกรณีต่าง ๆ ซึ่งเรียกว่า points รวม 16 กรณี ดังนี้

     จะเห็นว่ามีกรณีที่ A ชนะอยู่ 11 กรณี และจะมีกรณีที่ B ชนะอยู่ 5 กรณี ดังนั้น เงินเดิมพันควรถูกแบ่งเป็น A : B = 11 : 5 นั่นแปลว่าต้องแบ่งเงินเดิมพันออกเป็น 16 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้ว A ได้รับไป 11 ส่วน B ได้รับไป 5 ส่วน นักคณิตศาสตร์ปรบมือให้เลย

     ผู้อ่านลองคิดต่อโดยใช้แนวทางของแฟร์มาว่า ถ้าเกมต้องยุติลง แข่งต่อไปไม่ได้ โดยที่ A ต้องการชนะอีก m เกม ส่วน B ต้องการชนะอีก n เกมจึงจะชนะการแข่งขัน เงินเดิมพันจะถูกแบ่งกันอย่างไร

     ที่เรียกปัญหานี้ว่า Problem of the Points ก็เพราะว่าต้องแยกเหตุการณ์ที่ A ชนะ และ B ชนะเป็นรายกรณี (Points) ซึ่งรวมทั้งหมด 16 กรณีดังกล่าวข้างต้น แต่ละกรณีใน 16 กรณีนี้มีโอกาสเกิดได้เท่า ๆ กัน เพราะทั้งคู่มีฝีมือพอ ๆ กัน นี่เป็นความเข้าใจของแฟร์มาในสมัยนั้นโดยยังไม่มีการตั้งเป็นทฤษฎีอะไรเลย

     จะเห็นว่าปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการหาวิธีนับ (Counting) ว่าจะนับอย่างไรให้ครบทุกกรณีที่เป็นไปได้ ทำให้มีการศึกษาเรื่องนี้อย่างจริงจังจนเกิดเป็น Theory of Counting ซึ่งมีความสำคัญในการเรียนสาขาวิชา Computer ในปัจจุบัน และเกิดหัวข้อสำคัญสำหรับนักเรียนในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในปัจจุบันที่ต้องเรียนเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) และการจัดหมู่ (Combination) ก่อนที่จะเรียนหัวข้อความน่าจะเป็น แม้ในการสอบแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก เรื่องการนับนี้ก็เป็นหัวข้อหนึ่งที่ผู้เข้าร่วมการสอบแข่งขันต้องศึกษากันอย่างเข้มข้นกันเลยทีเดียว

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของนิตยสาร สสวท. ปีที่ 52 ฉบับที่ 246 มกราคม – กุมภาพันธ์ 2567

ผู้อ่านสามารถติดตามบทความที่น่าสนใจเพิ่มเติมได้ที่ https://emagazine.ipst.ac.th/246/30/

บรรณานุกรม

Eves, Howard. (1983). Great Moments in Mathematics (After 1650). The Dolciani Mathematical Expositions: Mathematical Association of America.