คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีความเป็นเหตุและผล และมีหลักการทางความคิดอย่างเป็นระบบ เชื่อว่าผู้อ่านบทความนี้คงเคยได้ศึกษาวิชานี้ คงเคยได้ผ่านกระบวนการหนึ่งทางคณิตศาสตร์มาบ้าง นั่นคือ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั่นเอง เคยสงสัยบ้างไหมว่า ทำไมเราต้องทำการพิสูจน์ การพิสูจน์มีข้อดีอย่างไร ซึ่งในบทความนี้คงไม่ได้แสดงถึงหลักการทางการพิสูจน์ แต่อยากให้เห็นถึงความสำคัญเพียงเท่านั้น
ภาพการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ที่มา https://www.flickr.com/photos/recurrence/34904701/
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
การพิสูจน์ (Proof) มีความหมายที่มาจากภาษาละตินว่า “ทดสอบ” เราทราบกันดีว่าในระบบคณิตศาสตร์นั้น ทฤษฎีบท (theorems) คือประพจน์ที่ได้มีการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง ซึ่งสามารถนำไปใช้ประโยชน์ในการหาคำตอบทางคณิตศาสตร์หรือนำไปใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นต่อได้นั่นเอง
การแสดงให้เห็นว่าข้อความหรือที่เราเรียกว่าประพจน์เป็นจริง เราจะต้องแสดงหรือพิสูจน์ให้เห็นว่าการพิสูจน์เป็นจริงทุกกรณี ก็เพราะว่าคณิตศาสตร์แต่ละอย่างจะเป็นการต่อยอดจากคณิตศาสตร์ตัวก่อนหน้า ถ้าเกิดว่าสิ่งที่เราพิสูจน์มามีความผิดพลาดจะทำให้สิ่งที่ต่อยอดมาจากสิ่งสิ่งนั้นผิดไปด้วยทั้งหมด
การพิสูจน์ทางคณิตศาสต์มีด้วยกันทั้งหมดประมาณ 4 รูปแบบ ดังนี้
การพิสูจน์โดยตรง (Direct proof)
การหาข้อขัดแย้ง (Proof by contradiction)
การแย้งสลับที่ (Contrapositive)
การพิสูจน์โดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical induction)
สิ่งสำคัญของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งต้องเริ่มจากการเข้าใจธรรมชาติและความคิดรวบยอดเกี่ยวกับโครงสร้างของคณิตศาสตร์ ที่เคยได้นำเสนอไปในบทความก่อนหน้านี้ (คณิตศาสตร์มีโครงสร้างหรือเปล่า) การพิสูจน์ส่วนใหญ่จะมีการใช้ประโยชน์จากหลักการทางคณิตศาสตร์ในเรื่องของตรรกศาสตร์เข้ามาเกี่ยวข้องในการพิสูจน์ และมีการใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ (natural language) มาอธิบายรูปแบบหรือการดำเนินการนั้น ๆ
ที่ผ่านมาส่วนใหญ่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์จะสอดแทรกให้ผู้เรียนได้ทดลองพิสูจน์กันในระดับมัธยมศึกษา เช่น การพิสูจน์ในทางเรขาคณิต ในขณะเดียวกันเมื่อเราเรียนในระดับที่สูงขึ้น หรือเรียนในหลักสูตรเฉพาะทางที่มีการคำนวณเข้ามาเกี่ยวข้อง การอ่านบทนิยามและพิสูจน์ทฤษีบทให้เข้าใจในเนื้อหาได้อย่างลึกซึ้ง ก็จะช่วยให้เราสามารถทำความเข้าใจในหลักการทางคณิตศาสตร์ที่มีเนื้อหาสูงขึ้นได้ไม่ยาก
ที่กล่าวมาทั้งหมดนี้ จึงอยากจะฝากให้ผู้อ่านทุกท่าน พยายามทำความเข้าใจเกี่ยวกับโครงสร้างของคณิตศาสตร์และหลักการทางตรรกศาสตร์ซึ่งเป็นพื้นฐานกันไว้ให้มาก เพราะเป็นเครื่องมืออย่างหนึ่งที่จะทำให้เราสามารถศึกษาคณิตศาสตร์ได้อย่างถ่องแท้ จากการพิสูจน์ในทางคณิตศาสตร์ได้นั่นเอง
แหล่งที่มา
หลักการคณิตศาสตร์ (Mathematics Principle) MAP1401 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สืบค้นเมื่อวันที่ 15 มิถุนายน 2563. จาก www.eledu.ssru.ac.th/chouang_ut/pluginfile.php/17/block_html/content/บทที่%203%20การพิสุจน์.pdf
ธนพรรษ พฤกษะวัน. การศึกษาความสามารถและปัญหาในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของนักศึกษาหลักสูตรศึกษาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยสวนดุสิต.สืบค้นเมื่อวันที่ 15 มิถุนายน 2563. จาก https://so03.tci-thaijo.org/index.php/sduhs/article/download/186594/131104/
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร.ฉวีวรรณ รัตนประเสริฐ . วิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์.สืบค้นเมื่อวันที่ 15 มิถุนายน2563. จาก https://so03.tci-thaijo.org/index.php/sduhs/article/download/186594/131104/
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ เป็นหน่วยงานของรัฐที่ไม่แสวงหากำไร ได้จัดทำเว็บไซต์คลังความรู้ SciMath เพื่อส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีทุกระดับการศึกษา โดยเน้นการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหลัก หากท่านพบว่ามีข้อมูลหรือเนื้อหาใด ๆ ที่ละเมิดทรัพย์สินทางปัญญาปรากฏอยู่ในเว็บไซต์ โปรดแจ้งให้ทราบเพื่อดำเนินการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยเร็วที่สุด
The Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (IPST), Ministry of Education, a non-profit organization under the Thai government, developed SciMath as a website that provides educational resources in Science, Mathematics and Technology. IPST invites visitors to use its online resources for personal, educational and other non-commercial purpose. If there are any problems, please contact us immediately.
Copyright © 2018 SCIMATH :: คลังความรู้ SciMath. Terms and Conditions. Privacy. , All Rights Reserved.
อีเมล: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. (ให้บริการในวันและเวลาราชการเท่านั้น)