logo IPST4 IPST4
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • learning space
  • ระบบอบรมครู
  • ระบบการสอบออนไลน์
  • ระบบคลังความรู้
  • สสวท.
  • สำนักงานสลากกินแบ่ง
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • E-Books อื่นๆ
  • Apps
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • คำถามที่พบบ่อย
  • สมัครสมาชิก
  • Forgot your password?
ค้นหา
    
ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
เลือกหมวดหมู่
    
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ

เซตและการดำเนินการของเซต

โดย :
วีระ ยุคุณธร
เมื่อ :
วันอังคาร, 17 มีนาคม 2563
Hits
39257
  • 1. Introduction
  • 2.  การดำเนินการของเซต
  • 3. ผลคูณและผลแบ่งกั้นของเซต
  • - All pages -

 เซตพื้นฐาน

          เซตเป็นหัวข้อที่มีความสำคัญและแทรกอยู่ในเนื้อหาของคณิตศาสตร์แทบทุกส่วน เราใช้เซตในการรวบรวมสิ่งต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็น ค่าตัวเลข ตัวแปร ที่มีคุณสมบัติเหมือนกันไว้ด้วยกันเป็นประโยชน์ต่อการจำแนกประเภทของสิ่งต่าง ๆ ออกเป็นกลุ่ม  

9417 1

ภาพที่ 1 สับเซตทั้งหมดของเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
ที่มา วีระ ยุคุณธร

การกำหนดเซต

          การรวบรวมสิ่งต่าง ๆเข้าด้วยกันเรียกว่าเซต สิ่งที่อยู่ในเซตเราเรียกว่าสมาชิกเช่นเซต A ประกอบด้วยสมาชิก 5 ตัวได้แก่ a, e, i, o, u กล่าวได้ว่า a เป็นสมาชิกของเซต A แต่ b ไม่เป็นสมาชิกของเซต A ประโยคภาษาข้างต้นสามารถเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

ตารางที่ 1 แสดงการแทนข้อความการเป็นสมาชิกของเซตแบบแจงแจกสมาชิกด้วยสัญลักษณ์

9417 2 edit

           การเขียนเซตในตารางที่ 1 เราเรียกว่าการกำหนดเซตแบบแจกแจงสมาชิกนิยมใช้เมื่อเราต้องการระบุสมาชิกของเซต แต่บางกรณีที่เราไม่ต้องการแจกแจงสมาชิกหรือไม่สามารถระบุสมาชิกที่แน่นอนได้ จึงมีวิธีการกำหนดเซตในลักษณะของการบอกคุณสมบัติมีหลักการดังนี้ กำหนดให้ A เป็นเซตที่มีคุณสมบัติ P นั้นคือสำหรับ x ใดๆที่เป็นสมาชิกใด ๆของ A แล้ว x จะต้องมีคุณสมบัติ P เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ตัวตารางต่อไปนี้

ตารางที่ 2 แสดงการแทนข้อความการเป็นสมาชิกของเซตแบบมีเงื่อนไขด้วยสัญลักษณ์

9417 3

          จากตัวอย่างข้างต้นเราสามารถกล่าวได้ว่า A เป็นเซตที่รวบรวมอักษรสระในภาษาอังกฤษกล่าวคือ ถ้า x เป็นสมาชิกใด ๆของเซต A แล้ว x จะต้องเป็นตัวอักษรภาษาอังกฤษ ในขณะเดียวกันหากไม่ใช่สมาชิกของเซต A ย่อมไม่ใช่ตัวอักษรในภาษาอังกฤษการใช้สัญลักษณ์ในตารางที่ 2 สื่อความหมายดังตารางต่อไปนี้

ตารางที่ 3 ตัวอย่างการแปรความหมายสัญลักษณ์การเป็นสมาชิกของเซต

9417 4

         ในบางครั้งจะมีการกำหนดสัญลักษณ์ของเซตที่ถูกกล่าวถึงอยู่บ่อยครั้งเช่นในระบบจำนวนเรากำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนดังนี้

ตารางที่ 4 สัญลักษณ์ของเซตในระบบจำนวน

9417 5 edit

ขนาดของเซต

          การรวบรวมวัตถุต่าง ๆเป็นเซต ถ้าจำนวนสมาชิกที่อยู่ในเซตมีจำนวนมากย่อมส่งผลให้เซตมีขนาดใหญ่ตามไปด้วย ดังนั้นคุณสมบัติพื้นฐานในการวัดขนาดของเซตคือ เซตนั้นจะต้องเป็นเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้เรียกว่า เซตนับได้ พิจารณาเซตต่อไปนี้ กำหนดให้ A = {x, x เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง -10 และ 10} และ B = {x, x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 10} จะเห็นว่าทั้ง A และ B สามารถเขียนแจงแจงสมาชิกได้ดังนี้ A = { -10,-9,-8,…,8,9,10 } และ B = { 10, 11 ,12, …} จะเห็นว่า A และ B เป็นเซตนับได้โดยที่ A มีสมาชิก 20 ตัว แต่ B มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ สำหรับเซตที่ไม่มีสมาชิกเรียกว่า เซตว่าง กล่าวได้ว่าเซตว่างเป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิก 0 ตัว ดังนั้นเซตนับได้ยังสามารถจำแนกได้เป็นอีกสองประเภทคือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์เรียกว่า เซตจำกัด และเซตที่มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนเรียกว่าเซตอนันต์ ส่วนการใช้สัญลักษณ์บอกขนาดของเซตแสดงดังตารางต่อไปนี้

ตารางที่ 5 ตัวอย่างการแปรความหมายสัญลักษณ์จำนวนสมาชิกของเซต

9417 6

ความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซต

          การพิจารณาขนาดและสมาชิกของเซต 2 เซตทำให้เราสามารถบอกความสัมพันธ์ระหว่างเซตทั้งสองเซตได้ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ A = {x, x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 10 และ  2หารได้ลงตัว} และ B = { x, x=2k เมื่อ k = 1,2,3,4,5 } จะเห็นว่าเซต A และ เซต B ถูกกำหนดด้วยภาษาที่แตกต่างกันแต่เมื่อพิจารณาสมาชิกแล้วจะพบว่าทั้งเซต A และ เซต B เขียนแจงแจงสมาชิกได้คือ { 2, 4, 6, 8, 10 } นั้นหมายความว่า เซต A และ เซต B เป็นเซตเดียวกันนิยามด้วยการเท่ากันของเซตดังนี้  

          A = B ก็ต่อเมื่อ สามาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาขิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A

สังเกตได้ว่า A และ B จะต้องมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และเป็นชุดเดียวกันแต่ถ้าหาก A และ B มีจำนวนสมาชิกเท่ากันแต่มีสมาชิกในเซตแตกต่างกันแล้วจะกล่าวว่า เซต A และ เซต B เป็นเซตที่เทียบเท่ากันนิยามดังนี้

          A ~ B ก็ต่อเมื่อ n(A) = n(B)

กำหนดให้ A = { x, x เป็นอักษรสระของภาษาอังกฤษ } และ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } จะเห็นว่า n(A) = 5 = n(B) ดังนั้น A และ B เป็นเซตที่เทียบเท่ากัน สังเกตว่าเซตจำกัดที่มีสมาขิก k ตัวเทียบเท่ากับเซต {1,2,3,…,k } เสมอ

          ในกรณีที่สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B แต่ n(A) น้อยกว่า n(B) เรากล่าวว่า เซต A เซตย่อยแท้ของเซต B แต่ถ้า n(A) น้อยกว่าหรือเท่ากับ n(B) จะกล่าวว่า เซต A เป็นเซตย่อยของเซต B ตัวอย่างเช่นถ้ากำหนดให้ B = { 1,2,3,4,5 } ถ้า A = { 1,4,5 } จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ เซต A มีขนาดเล็กกว่า เซต B สรุปได้ว่า A เป็นเซตย่อยแท้ของเซต B แต่ถ้ากำหนดให้ A ={ 1,3,9 } จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต A ไม่ใช่สมาชิกในเซต B เราสรุปได้ว่า A ไม่เป็นเซตย่อยของเซต B

เราให้นิยามความสัมพันธ์เชิงเซตย่อยของเซตสองเซตได้ดังนี้

      A เป็นเซตย่อยของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

      A เป็นเซตย่อยแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ n(A) ไม่เท่ากับ n(B)

ตัวอย่างการหาเซตย่อยของ A = { { }, { { } } ,{ { }, {{ }} } } เพื่อความสะดวกผู้เขียนจะใช้ e แทนเซตว่างจะได้

      A = { e, {e}, {e,{e}} } พบว่า A ประกอบด้วยสมาชิก 3 ตัวคือ e, {e} และ {e, {e}} พิจารณาเซตย่อยคือเซตที่มีสมาขิกน้อยกว่า 3 ตัวได้แก่ เซตที่มีสมาชิก 0 ตัว 1 ตัว 2 ตัว และ 3 ตัวตามลำดับ พิจารณา

      เซตที่มีสมาชิก 0 ตัว e มีจำนวน 1 เซต

      เซตที่มีสมาชิก 1 ตัว { e } , { {e} }, { { e, {e} } } มีจำนวน 3 เซต

      เซตที่มีสมาชิก 2 ตัว { e , {e} }, { e, {e, {e}} }, { {e}, {e, {e}} } มีจำนวน 3 เซต

      เซตที่มีสมาชิก 3 ตัว { e, {e}, {e,{e}} } มีจำนวน 1 เซต

      จะเห็นว่าเซตย่อยของเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 มี 8 เซต แต่หากพิจารณาเซตย่อยแท้จะมีเพียงเซต 7 เซต (นับเฉพาะเซตที่มีสมาชิกน้อยกว่า 3} นอกจากนี้สังเกตได้ว่าเมื่อพิจารณาถึงเซตย่อยย่อมมีเซตย่อยที่แจ่มชัดอยู่ 2 เซตย่อยเสมอคือเซตว่างและเซตนั้นนั่นเอง หากเรารวมรวมเซตย่อยทั้ง 8 เซตเข้าด้วยกันเป็นเซตใหม่เราเรียกว่า เพาเวอร์เซต นั้นคือ เพาเวอร์เซตของเซตของเซต A คือ เซตของเซตย่อยของเซต A 

       P(A) = { e, { e } , { {e} }, { { e, {e} } }, { e , {e} }, { e, {e, {e}} }, { {e}, {e, {e}} }, { e, {e}, {e,{e}} } }

แหล่งที่มา

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.


Return to contents

การดำเนินการของเซต

9418 1

ภาพผังเวนน์ออยเลอร์แสดงผลการดำเนินการระหว่างเซต A และ B
ที่มา วีระ ยุคุณธร

          เมื่อเราทำการจำแนกสิ่งต่าง ๆออกเป็นกลุ่ม หากเราพิจารณากลุ่ม 2 กลุ่มแล้วนำมารวมกันจะได้กลุ่มใหม่ที่มีสมาชิกจากทั้งสองกลุ่ม ในขณะเดียวกันหากเรามองหาส่วนที่ซ้ำกันระหว่างกลุ่มสองกลุ่มเราจะได้กลุ่มใหม่ที่มีขนาดเล็กกว่ากลุ่มเดิมและสมาชิกในกลุ่มใหม่เป็นสมาชิกของกลุ่มเดิมทั้งสองกลุ่ม การดำเนินการทั้งสองแบบนี้เป็นพื้นฐานของการดำเนินการเรื่องเซตเราเรียกการรวมเซตสองเซตเข้าด้วยกันว่าผลผนวก และเรียกการเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซตสองเซตว่าผลตัด

ผลผนวก

         กำหนดให้  A = { 1, 3, 5 } และ B = { 2, 4, 6 } หากนำสมาชิกของเซต A และ เซต B มารวมกันจะได้เซตใหม่ซึ่งเป็นผลผนวกของ เซต A และ เซต B เขียนแทนด้วย A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ถ้ากำหนดให้ C = {2,3,5} พิจารณา A U C = {1, 3, 5, 2, 3, 5} = { 1, 2, 3, 5 } จากทั้งสองกรณีจะเห็นว่าสมาชิกของผลผนวกจะต้องเป็นสมาชิกของเซตใดเซตหนึ่ง หรือ อาจจะเป็นสมาชิกของเซตทั้งสองเซตก็ได้ นิยามของผลผนวกจึงกำหนดได้ดังนี้

A U B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A หรือ x เป็นสมาชิกของเซต B }

คุณสมบัติของผลผนวก

  1. A U A = A การนำเซตเดียวกับมารวมกันย่อมได้เซตเดิม

  2. A U ( B U C ) = ( A U B) U C การนำเซต B รวมกับเซต C จากนั้นนำไปรวมกันเซต A จะได้เซตเดียวกันกับการรวมเซต A และ เซต B แล้วไปรวมกับเซต C

  3. A U B = B U A การนำเซต A ไปรวมกับเซต B เป็นเซตเดียวกันกับ การนำเซต B ไปรวมกันเซต A

ผลตัด

จากการกำหนดให้  A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 4, 6 } และ C = {2,3,5} เมื่อนำสมาชิกที่ซ้ำกันทั้งหมดระหว่างเซต A และ เซต C มาสร้างเป็นเซตใหม่เรียกเซตนี้ว่าผลตัดของ เซต A และ เซต C เขียนแทนด้วย A ∩ C = { 3, 5 } ขณะเดียวกัน A ∩ B = { } เนื่องจากไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย ในกรณีแรกจะเห็นว่าสมาชิกของผลตัดจะต้องเป็นสมาชิกของเซตทั้งสองเซตดังนิยามต่อไปนี้

A ∩ B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A และ x เป็นสมาชิกของเซต B }

คุณสมบัติของผลผนวก

  1. A ∩ A = A การเลือกส่วนที่ซ้ำกันของเซตเดียวกันย่อมได้เซตเดิม

  2. A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C การเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซต B กับเซต C จากนั้นนำไปเลือกส่วนที่ซ้ำกันกับเซต A จะได้เซตเดียวกันกับการเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซต A และ เซต B แล้วเลือกส่วนที่ซ้ำกันกับเซต C

  3. A ∩ B = B ∩ A การเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซต A กับเซต B เป็นเซตเดียวกันกับ การเลือกส่วนที่ซ้ำกันของเซต B กับเซต A

พิจารณาการดำเนินการที่มีทั้งการรวมและการเลือก

  1.   A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C )

ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 4, 6 } และ C = {2,3,5}

      ( A U B ) ∩ ( A U C ) = { 1,2,3,4,5,6 } ∩ { 1,2,3,5 } = {1,2,3,5}

                A U ( B ∩ C ) = { 1, 3, 5 } U { 2,3 } = {1,2,3,5}

  1. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 5, 6 } และ C = {2,3,5}

       ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )= { 1,5 } ∩ { 5 } = { 5}

       A U ( B ∩ C ) = { 1, 3, 5 } U { 5 } = { 5 }

ผลต่าง

       เมื่อเซต A และ เซต B มีสมาชิกบางส่วนที่ซ้ำกันและเราต้องการนำสมาชิกของเซต A ที่ซ้ำกับเซต B ออกจะเห็นว่าเซตนั้นจะต้องเป็นเซตที่มีสมาชิกของเซต A และ ต้องไม่เป็นสมาชิกในเซต B เราเรียกเซตนี้ว่า ผลต่างของ A และ B นิยามได้ดังนี้

       A – B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A แต่ x ไม่เป็นสมาชิกของเซต B }

      นิยามข้างต้นเรากล่าวถึง x ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เราสามารถรวบรวมสมาชิกทั้งหมดที่ไม่ใช้สมาชิกของเซตฺBและเรียกเซตนี้ว่าส่วนเติมเต็มของ B เขียนแทนด้วย BC นั้นคือ ถ้า x ไม่ใช่สมาชิกของเซต B แล้ว x จะต้องเป็นสมาชิกของ BC ดังนั้นนิยามของผลต่างสามารถเขียนในรูปของผลตัดได้ดังนี้

       A – B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A แต่ x ไม่เป็นสมาชิกของเซต B }

      A – B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A และ x เป็นสมาชิกของเซต BC }

      A – B = A ∩ BC

ผลต่างสมมาตร

          ผลตัดเป็นการดำเนินการโดยเลือกส่วนที่ซ้ำกันของเซตสองเซตแต่หากเราสนใจส่วนที่ไม่ซ้ำกันสามารถอธิบายได้ด้วยผลต่างสมมาตรของเซตสองเซตนั้นคือ

      A Δ B = (A – B) U (B – A)

ตัวอย่างเช่นให้ A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 5, 6 }

       A Δ B = (A – B) U (B – A)

       A Δ B = { 1,3 } U { 2,6 }

       A Δ B = { 1,2,3,6 }

จะเห็นว่า 1, 2, 3 และ 6 เป็นสมาชิกที่อยู่ในเซต A หรือ เซต B เซตใดเซตหนึ่ง

แหล่งที่มา

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.


Return to contents

ผลคูณและผลแบ่งกั้นของเซต

          ตัวดำเนินการพื้นฐานของเซตประกอบด้วยการรวมและการเลือก นำมาซึ่งผลการดำเนินการมากมายเช่นผลผนวก ผลตัด ผลต่าง ผลต่างสมมาตร ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงผลคูณของเซตที่ซึ่งเป็นการจับคู่ระหว่างเซตสองเซตอย่างมีลำดับ และเป็นบทนำไปสู่การศึกษาเรื่องความสัมพันธ์กับฟังก์ชัน และหัวข้อสุดท้ายของเรื่องเซตจะเป็นการศึกษาเกี่ยวกับผลแบ่งกั้นที่ถูกประยุกต์ใช้มากในการจัดการข้อมูลและระบบ 

9419 1

 ภาพที่ 1 โครงสร้างระบบจำนวนจริง
ที่มา วีระ ยุคุณธร

ผลคูณของเซต

         กำหนดให้  A = { a,b,c } และ B = { 1,2,3,4 } สังเกตว่าเซตสองเซตเป็นปริมาณสองชนิดที่แตกต่างกัน หากเราต้องการจับคู่สมาชิกระหว่างเซตสองเซตนี้และเขียนในรูปของคู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกของเซต A และ B ตามลำดับจะได้

      (a,1)     (a,2)     (a,3)    (a,4)

      (b,1)    (b,2)   (b,3)   (b,4)

      (c,1)     (c,2)    (c,3)    (c,4)

         เมื่อเรารวบรวมการจับคู่เหล่านี้เข้าเป็นเซตเราเรียกเซตใหม่ที่ได้นี้ว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B แทนด้วยA x B = { (a,1), (a,2),(a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4) }

นิยามโดยทั่วไปได้ว่า       A x B = { (a,b) , a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B }

แต่ถ้าหากเราพิจารณา B x A จะได้

      (1,a)     (2,a)     (3,a)    (4,a)

      (1,b)    (2,b)    (3,b)   (4,b)

      (1,c)     (2,c)     (3,c)    (4,c)

      B x A = { (1,a), (2,a),(3,a), (4,a), (1,b), (2,b), (3,b), (4,b), (1,c), (2,c), (3,c), (4,c) }

      จะว่า A x B ไม่เท่ากับ B x A แต่ n(A x B) เท่ากับ n(B x A) นิยามคำว่าคูณที่สมนัยกับการคูณของจำนวนจริงจึงหมายถึงการคูณของจำนวนสมาชิกตามกฏต่อไปนี้

      n(A x B) = n(A) x n(B)

      หากเราพิจารณาผลคูณของเซตมากกว่าหนึ่งเซต สมมติให้ A1, A2, A3, ...., Ak เป็นเซตใด ๆแล้ว

      A1 x A2 x  A3 x .... Ak = { (a1,a2,…,ak), an เป็นสมาชิกของ An สำหรับ n =1,2,3,…k }

      เราเรียกสมาชิกในผลคูณว่าว่าเวกเตอร์เช่นตัวอย่าง กำหนดให้ B = { 0, 1 } จะได้ว่า B3 = B x B x B = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) } ในทางคอมพิวเตอร์เราเรียกตัวอย่างข้างต้นว่าสายบิตนิยมเขียนเป็น 000 001 010 011 100 101 110 111 เมื่อแปลงจากเลขฐานสองเป็นเลขฐาน 10 จะได้ 0,1,2,…,7 ตามลำดับ

ผลแบ่งกั้น

      ก่อนจะกล่าวถึงผลแบ่งกั้น ผู้เขียนจะยกตัวอย่างการแบ่งกั้นพื้นที่ทั่วไปก่อนเพื่อเป็นแนวทางในการนิยามผลแบ่งกันในเซต พิจารณารูปที่ 2

9419 2
ภาพการแบ่งกั้นพื้นที่สี่เหลี่ยม A

       จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยม A ถูกแบ่งออกเป็น 6 ส่วนโดยที่แต่ละส่วนไม่มีส่วนที่ซ้ำกันเลยถ้าเรารวบรวม A1, A2, … , A6 เป็นเซตเราจะเรียกเซตนี้ว่าผลแบ่งกันของ A เรานิยามผลแบ่งกั้นของเซตจากข้อสังเกต 1. คือผลผนวกของสมาชิกในผลแบ่งกั้นจะต้องเป็นเซต A และ สมาชิกแต่ละคู่ของผลแบ่งกั้นจะต้องไม่มีส่วนที่ซ้ำกัน กำหนดด้วยนิยามในเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

เราจะกล่าวว่า S = { A1, A2, … , An } เป็นผลแบ่งกั้นของเซต A ก็ต่อเมื่อ

  1. A1 U A2 U … U An = A
  2. A i ∩ A j = { } สำหรับ i ≠ j

ผลแบ่งกั้นถูกนำมาใช้เพื่อจำแนกประเภทของสิ่งต่าง ๆ หรือการจัดข้อมูลเป็นระดับชั้น ตัวอย่างเช่นหากเราพิจารณาประเภทของจำนวนเต็มเราสามารถแบ่งเซตของจำนวนเต็ม Z ออกได้เป็นหลายประเภทเช่น

  1. จำนวนเต็มบวก (Z+) จำนวนเต็มลบ (Z-) จำนวนเต็มศูนย์ (Z0) เนื่องจาก Z = Z+ U Z- U Z0 และ Z+ ∩ Z- = Z- ∩ Z0 = Z0 ∩ Z+ = { } นั้นคือ { Z+, Z-, Z0 } เป็นผลแบ่งกั้นของจำนวนเต็ม
  2. จำนวนคู่ ( E ) และจำนวนคี่ ( O ) เนื่องจาก Z = E U O และ E ∩ O = { } ดังนั้น { E , O } เป็นผลแบ่งกั้นของจำนวนเต็ม
  3. เศษเหลือ เช่นแบ่งตามเศษเหลือของ 5 จะได้ดังนี้

       [0] = { …, -10, -5, 0, 5, 10, … }

       [1] = { …, -9, -4, 1, 6, 11, … }

       [2] = { …, -8, -3, 2, 7, 12, … }

       [3] = { …, -7, -2, 3, 9, 13, … }

       [4] = { …, -6, -1, 4, 9, 14, … }

      จะเห็นได้โดยง่ายว่า { [0], [1], [2], [3], [4] } เป็นผลแบ่งกั้นของจำนวนเต็ม

       ชุดข้อมูล (Data set) เป็นการเก็บข้อมูลเชิงตัวเลขหลายผลแบ่งกั้นเช่น

       กำหนดให้เลข 2 หลักแรกหมายถึง ลำดับของผู้ถูกสำรวจ { 01, 02,…, 99}

       กำหนดให้เลขหลักที่ 3 และ 4 แทนเพศ { 01 = ชาย, 02 = หญิง }

       กำหนดให้เลข 2 หลักสุดท้ายหมายถึง คณะที่ศึกษา { 01=คณะวิทยาศาสตร์, 02 = คณะครุศาสตร์, 03 = คณะมนุษยศาสตร์, 04 = คณะวิทยาการจัดการ, 05 = คณะเทคโนโลยีอุตสาหกรรม}

       หากเราต้องการเก็บข้อมูลของผู้ถูกสำรวจไว้เป็นความลับวิธีการหนึ่งคือเก็บข้อมูลในเชิงตัวเลขซึ่งจะมีเพียงผู้ที่รวบรวมข้อมูลเพื่อวิเคราะห์เท่านั้นที่สามารถอ่านข้อมูลได้ตัวอย่างเช่นปรากฏข้อมูลเชิงตัวเลข

        120105 แปลได้ว่า ผู้ถูกสำรวจลำดับที่ 12 เป็นเพศชายศึกษาในคณะเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

        980201 แปลได้ว่า ผู้ถูกสำรวจลำดับที่ 98 เป็นเพศหญิงศึกษาในคณะวิทยาศาสตร์

        ซึ่งการเก็บช้อมูลเชิงตัวเลขจะมีประโยชน์สำหรับการดึงข้อมูลผ่านฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เช่นหากเราต้องการดึงข้อมูลผู้ถูกสำรวจคณะวิทยาศาสตร์สามารถทำการ print ด้วยการคำนวณ x mod 100 == 3 เป็นต้น

แหล่งที่มา

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.

 


Return to contents
Previous Page 1 / 3 Next Page
หัวเรื่อง และคำสำคัญ
เซต, เซตย่อย, เพาเวอร์เซต ,การดำเนินการของเซต, ผลผนวก, ผลตัด, ผลต่าง, ผลต่าง, สมมาตร
ประเภท
Text
รูปแบบการนำเสนอ แบ่งตามผลผลิต สสวท.
สื่อสิ่งพิมพ์ในรูปแบบดิจิทัล
ลิขสิทธิ์
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
วันที่เสร็จ
วันเสาร์, 20 ตุลาคม 2561
ผู้แต่ง หรือ เจ้าของผลงาน
วีระ ยุคุณธร
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
คณิตศาสตร์
ระดับชั้น
ม.4
ช่วงชั้น
ประถมศึกษาตอนปลาย
กลุ่มเป้าหมาย
ครู
นักเรียน
บุคคลทั่วไป
  • 9417 เซตและการดำเนินการของเซต /lesson-physics/item/9417-2018-11-14-08-31-37
    เพิ่มในรายการโปรด
  • ให้คะแนน
    Average rating
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • Share
    • Tweet
    • Share

ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ
  • เกี่ยวกับ SciMath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
  • คำถามที่พบบ่อย
Scimath คลังความรู้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ เป็นหน่วยงานของรัฐที่ไม่แสวงหากำไร ได้จัดทำเว็บไซต์คลังความรู้ SciMath เพื่อส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีทุกระดับการศึกษา โดยเน้นการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหลัก หากท่านพบว่ามีข้อมูลหรือเนื้อหาใด ๆ ที่ละเมิดทรัพย์สินทางปัญญาปรากฏอยู่ในเว็บไซต์ โปรดแจ้งให้ทราบเพื่อดำเนินการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยเร็วที่สุด

The Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (IPST), Ministry of Education, a non-profit organization under the Thai government, developed SciMath as a website that provides educational resources in Science, Mathematics and Technology. IPST invites visitors to use its online resources for personal, educational and other non-commercial purpose. If there are any problems, please contact us immediately.

Copyright © 2018 SCIMATH :: คลังความรู้ SciMath. Terms and Conditions. Privacy. , All Rights Reserved. 
อีเมล: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. (ให้บริการในวันและเวลาราชการเท่านั้น)