“เซต” เป็นคณิตศาสตร์สาขาหนึ่ง นับเป็นหนึ่งในสามของรากฐาน (Foundations) ที่สำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (Modern Mathematics) ทุกสาขา รากฐานทั้งสาม ได้แก่ เซต (Sets) จำนวน (Numbers) และตรรกศาสตร์ (Logic) นักคณิตศาสตร์ใช้รากฐานทั้งสามนี้ร่วมกันในการสร้างคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ (Wilder R. L., 1952)

     พิจารณารูปต้นไม้แสดงสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ (Mathematics Tree) ข้างล่างนี้

     จะเห็นว่า คณิตศาสตร์ทุกสาขาต้องอาศัยรากฐานทั้งสามนี้ ผู้ที่เรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นจำเป็นต้องเรียนเรื่องเซต เพราะ 1) คณิตศาสตร์สมัยใหม่ใช้เซตเป็นภาษาในการสื่อสารทางคณิตศาสตร์ และ 2) ใช้เซตของจำนวนต่าง ๆ ในการสื่อสาร และเซตยังมีส่วนช่วยในการพัฒนาระบบจำนวนจริง ทำให้ระบบจำนวนจริงมีทฤษฎีบทที่เป็นพื้นฐานที่แข็งแกร่งต่อแคลคูลัส (Calculus) และการวิเคราะห์ (Analysis)

     นักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ให้กำเนิดทฤษฎีเซต ก็คือนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845–1918) ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมฟูเรียร์ ดังนี้ “ฟังก์ชันใด ๆ สามารถแสดงแทนได้ด้วยอนุกรมฟูเรียร์มากกว่าหนึ่งวิธีได้หรือไม่” (S. M. Srivastava, 2014)

     การที่คันทอร์ทำวิจัยเพื่อตอบปัญหานี้ด้วยการใช้แนวคิดเกี่ยวกับเซต ยังส่งผลให้คันทอร์ได้วางรากฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทของจำนวนจริง (Theory of Real Numbers) อีกด้วย

     ปัญหาที่คันทอร์พยายามหาคำตอบนี้เกี่ยวกับงานวิจัยด้านการนำความร้อน (Heat Conduction) ที่ฟูเรียร์ (Fourier, Jean Baptiste Joseph ค.ศ. 1768–1830) ชาวฝรั่งเศส ได้นำเสนอต่อสถาบันทางวิทยาศาสตร์ของฝรั่งเศสในวันที่ 21 ธันวาคม ค.ศ. 1807 โดยฟูเรียร์ได้อ้างว่า “ฟังก์ชันใด ๆ ซึ่งนิยามบนช่วง (-π, π) สามารถแสดงแทนได้ด้วย

โดยที่ a ทั้งหลาย และ b ทั้งหลายเป็นจำนวนจริงที่เหมาะสม” (Howard Eves, 1983)

คันทอร์สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทเพื่อตอบคำถามเกี่ยวกับการแสดงแทนฟังก์ชันใด ๆ ด้วยอนุกรมฟูเรียร์ ดังนี้

Theorem: Every function f : R → R can have at most one representation by trigonometric series. (S. M. Srivastava, 2014)

จากการที่คันทอร์ประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาข้างต้นด้วยการใช้แนวคิดเกี่ยวกับเซต และยังใช้แนวคิดนี้บรรยายเกี่ยวกับจำนวนได้ดี จึงทำให้แนวคิดการใช้เซตเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์เป็นที่ยอมรับ

จากประสบการณ์การสอนและการศึกษาค้นคว้า ผู้เขียนมีข้อสังเกตบางประการในการสอนเรื่องเซต เพื่อช่วยผู้สอนและนักเรียนสร้างความเข้าใจเนื้อหาและสนุกไปกับการใช้ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการเรียนเรื่องเซต ดังนี้

     1. ทำไมนักคณิตศาสตร์จึงให้คำว่า “เซต” เป็นอนิยาม กล่าวคือ ไม่ให้ความหมายว่าเซตคืออะไร ถ้าเป็นอย่างนี้นักเรียนจะรู้จักเซตได้อย่างไร จะสอนให้นักเรียนเข้าใจว่าเซตคืออะไรได้อย่างไร เรื่องนี้แต่เดิมคันทอร์ผู้สร้างทฤษฎีเซตได้ให้บทนิยามของเซตไว้ดังนี้

“A set is a collection of distinct, well - defined objects.”

     การให้บทนิยามของเซตเช่นนี้ ต่อมาทำให้เกิดปฏิทรรศน์ (Paradox) ขึ้น ทำนองเดียวกับการเกิดปฏิทรรศน์ในวิชาเรขาคณิต จากการที่ยุคลิด (Euclid) ให้บทนิยามของคำว่า จุด เส้น และระนาบ นักคณิตศาสตร์ไม่ต้องการให้เกิดปฏิทรรศน์ขึ้นในคณิตศาสตร์สาขาใดสาขาหนึ่ง ทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องใช้ความรู้เรื่องระบบสัจพจน์ (Axiomatic System) มาปรับเรขาคณิตให้เข้าสู่ระบบสัจพจน์ที่ไม่มีปฏิทรรศน์ แต่ยังคงรักษาเนื้อหาเดิมเอาไว้ เรื่องเซตก็เช่นเดียวกัน ในระยะแรกที่ทำให้เกิดปฏิทรรศน์ขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงได้ปรับเรื่องเซตให้เข้าสู่ระบบสัจพจน์ โดยให้คำว่า เซต เป็นอนิยามและพัฒนาเนื้อหาตามแนวทางของคันทอร์

     เนื้อหาของเซตในหลักสูตรระดับมัธยมศึกษาตอนปลายของประเทศไทยเป็นไปในลักษณะของการแนะนำเนื้อหาเบื้องต้นเท่านั้น เริ่มต้นโดยไม่ให้บทนิยามว่าเซตคืออะไรเพื่อหลีกเลี่ยงปฏิทรรศน์ แต่ใช้คำอธิบายพอให้เข้าใจว่าเซตมีลักษณะอย่างไร ดังนี้

     “ในวิชาคณิตศาสตร์ใช้คำว่าเซตในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วสามารถทราบได้แน่นอนว่า สิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม” (สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2563)

     จะเห็นว่าหนังสือเรียนไม่กล่าวคำว่า “เซตคือ...” แต่กล่าวถึงสาระสำคัญของเซต คือ 1) เป็นกลุ่มของสิ่งของ (Collection of Objects) และ 2) บอกได้ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม (Well-Defined)

      การยกตัวอย่างของเซตควรยกตัวอย่างที่เข้าทั้งสองลักษณะดังกล่าวอย่างชัดเจน เช่น “เซตของสระในภาษาอังกฤษ” “เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10” ไม่ควรยกตัวอย่างที่ก่อให้เกิดปัญหาในวิชาเซตมาแล้ว เช่น “เซตของโมเลกุลของน้ำในหนึ่งแก้ว” “เซตของทองแดง” “เซตของเม็ดทรายบนโลก”

      ตัวอย่างเซตข้างต้นเกินความมุ่งหมายของคันทอร์ ในการพัฒนาวิชานี้คันทอร์มุ่งหมายใช้เซตเพื่อบรรยายเกี่ยวกับจำนวน เพราะคณิตศาสตร์ศึกษาเกี่ยวกับจำนวน

     2. เมื่อเริ่มต้นเรียนเรื่องเซต มีประเด็นใดบ้างที่นักเรียนสับสนหรือเข้าใจได้ยาก (Difficulties) เรื่องนี้ Soon Yu Tiong Spario และ Yeo Kai Kaw Joseph ได้กล่าวถึงประเด็นดังกล่าวในบทความชื่อ “Teaching of Sets” (Lee Peng Yee and Lee Ngan Hoe, 2009) ไว้ดังนี้

           2.1 นักเรียนไม่ชำนาญในการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข เพราะหาเงื่อนไขไม่ได้หรือกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกแล้วหาสมาชิกไม่ถูกต้อง รวมทั้งการเขียนกลับไปกลับมาระหว่างการเขียนแทนเซตทั้งสองแบบ

           2.2 นักเรียนสับสนระหว่าง { }, 0 และ {0} เพราะมีลักษณะของความว่างหรือไม่มีเหมือน ๆ กัน

           2.3 เข้าใจผิดเกี่ยวกับสมาชิกในเซต เช่น เข้าใจว่า 6 ∈ {1, 3, {6, 9}} เพราะเข้าใจผิดคำว่า “อยู่ใน” ในภาษาของเซตกับคำว่า “อยู่ใน” ในภาษาพูดโดยทั่วไป

           2.4 นักเรียนสับสนระหว่างสัญลักษณ์ เช่น ∈ กับ หรือ กับ

           2.5 สับสนในการแรเงาแผนภาพเวนน์เกี่ยวกับ กับ เมื่อมีสัญลักษณ์ของคอมพลีเมนต์เข้ามาเกี่ยวข้อง เช่น (A B)' หรือ A B'

           2.6 เมื่อต้องการแรเงาแผนภาพเวนน์ที่มีเซต A และ B นักเรียนไม่เข้าใจคำว่า x ∈ A (x อาจอยู่ใน B ได้) กับ x ∈ A เท่านั้น

     3. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ 4 เล่ม 1 หัวข้อเซต มีหมายเหตุว่า “เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต” คำกล่าวนี้เป็นสัจพจน์หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ คำตอบคือ เป็นทฤษฎีบท เพียงแต่ว่าไม่พิสูจน์ในชั้นนี้ การพิสูจน์ว่า “สำหรับเซต A ใด ๆ Ø A” ทำได้สองวิธี คือ พิสูจน์ทางตรง (Direct Proof) และการพิสูจน์ทางอ้อม (Proof by Contradiction) การพิสูจน์ทางตรงเป็นดังนี้

               พิสูจน์ : x ϵ Ø เป็นข้อความที่เป็นเท็จ ดังนั้น x ϵ Ø → x ϵ A เป็นจริง

               ดังนั้น x [x ϵ Ø → x ϵ A] เป็นจริง

               ดังนั้น Ø A (บทนิยามของสับเซต)

     4. เรานำทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการสอนเรื่องเซตได้หลายวิธี เช่น

          4.1 การให้เหตุผล (Reasoning) โดยทั่วไปแล้ว การให้เหตุผลทำได้เสมอในวิชาคณิตศาสตร์ ในเรื่องเซตก็เช่นเดียวกัน ดังตัวอย่าง

          4.2 ใช้การเขียนแผนภาพ (Drawing a Diagram) ในเรื่องของเซต เราใช้การเขียนแผนภาพเวนน์ (Venn Diagram) เพื่อแสดงว่าความสัมพันธ์ระหว่างเซตเป็นจริงหรือเท็จ

ตัวอย่าง: จงใช้แผนภาพแสดงว่า A - B = A ∩ B'

จะเห็นว่า $A-B$ กับ A∩B′ จะครอบคลุมบริเวณเดียวกันคือ บริเวณหมายเลข 1 ดังนั้น A−B=A∩B′ เป็นจริง และจะได้ว่า $A-BB-A$

เราสามารถใช้แผนภาพเพื่อแสดงว่าทฤษฎีบทใดเป็นจริงได้ เช่น

(A′)′=A,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)

(A−B)′=A′∪B,A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)

หรือใช้แผนภาพแสดงว่า $A-(B\cap C)(A-B)\cap C$

          4.3 การคาดการณ์ (Conjecture) แล้วตรวจสอบ (Verify) เช่น จงหาว่า (A∪B)′=?

วิธีทำ : คาดการณ์ว่า (A∪B)′=A′∪B′ จากนั้นตรวจสอบโดยใช้แผนภาพเวนน์ ปรากฏว่าไม่เป็นจริง

จากนั้นคาดการณ์ต่อไป สมมุติว่าคาดการณ์เป็น (A∪B)′=A′∩B′ ซึ่งตรวจสอบโดยใช้แผนภาพเวนน์ ปรากฏว่าเป็นจริง

ตัวอย่าง : จงหาว่า (A∩B)′=?,A−(B−C)=?,A−(B∩C)=?,A−(B∪C)=?

โดยใช้การคาดการณ์แล้วตรวจสอบ