logo IPST4 IPST4
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • learning space
  • ระบบอบรมครู
  • ระบบการสอบออนไลน์
  • ระบบคลังความรู้
  • สสวท.
  • สำนักงานสลากกินแบ่ง
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • E-Books อื่นๆ
  • Apps
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • คำถามที่พบบ่อย
  • สมัครสมาชิก
  • Forgot your password?
ค้นหา
    
ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
เลือกหมวดหมู่
    
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ

เรขาคณิตหลายมิติ

โดย :
ปริญญา การดำริห์
เมื่อ :
วันอาทิตย์, 18 มิถุนายน 2560
Hits
38700
  • 1. Introduction
  • 2. ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ
  • 3. ระบบพิกัดทรงกลมใน N มิติ
  • 4. ลูกบาศ์กในหลายมิติ
  • - All pages -

ทรงกลมในหลายมิติ

เมื่อกล่าวถึงทรงกลม หลายคนจะคุ้นเคยกับก้อนวัตถุโค้งเรียบ เช่นลูกบอล หรือลูกโลก เป็นต้น ทรงกลมในความหมายนี้

เป็นวัตถุที่อยู่ในอวกาศสามมิติ ในทางคณิตศาสตร์ ทรงกลมเป็นพื้นผิวสองมิติที่ฝังตัวอยู่ในอวกาศสามมิติ โดยมีนิยามเป็น

เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่ (จุดศูนย์กลาง) เป็นระยะทางเท่ากัน ตามความสัมพันธ์ในระบบพิกัดฉาก สำหรับทรงกลม

ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

x2+ y2+ z2= R2

โดยที่ R เป็นรัศมีของทรงกลม โดยทั่วไป นิยมเขียนแทน ทรงกลมสองมิติ ด้วย S2

ในรูปแบบเดียวกัน วงกลมจัดเป็นทรงกลม หนึ่งมิติ S' ที่ฝั่งตัวอยู่ในอวกาศสองมิติ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จะมีสมการเป็น

x2+ y2= R2

ทั้งสองแบบนี้เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่คุ้นเคยกันดี แต่นิยามของทรงกลมดังกล่าวนี้สามารถขยายผลไปยัง ทรงกลมมิติใด ๆ ได้เช่นเดียวกัน

ทรงกลมศูนย์มิติ

ทรงกลมศูนย์มิติ S0คือ เซตของจุดในอวกาศหนึ่งมิติ ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน ตามสมการ

(x - x0)2= R2

หรือ |x - x0| = R

นั่นคือ ทรงกลมศูนย์มิติ ประกอบด้วย 2 จุดคือ x = x0+ R และ x = x0- R ดังรูป 1

ทรงกลมสามมิติ

ทรงกลมสามมิติ S3คือพื้นผิวสามมิติที่ฝังตัวอยู่ในอวกาศสี่มิติ ซึ่งประกอบด้วยจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง (w0, x0, y0, z0) เท่ากัน ตามสมการ

(w - w0)2+ (x - x0)2+ (y - y0)2+ (z - z0)2= R2

จุดในอวกาศสี่มิติ R4ระบุได้ด้วยพิกัดสี่ค่าคือ (w, x, y, z)

มีข้อสังเกตคือ ทรงกลมสามมิติ หมายถึง ทรงกลมที่มีพื้นผิดสามมิติ แต่ตัวทรงกลมเองเป็นก้อนอยู่ในอวกาศสี่มิติ ในทาง

เรขาคณิตตัวทรงกลมหมายถึงจุดที่อยู่บนผิวเท่านั้น สำหรับทรงกลมสองมิติ เช่น ลูกบอล ที่ว่างภายในลูกบอล ไม่ได้นับรวมว่า

เป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมเฉพาะจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมีของทรงกลมเท่านั้น ที่นับว่าอยู่ภายในทรงกลม

โดยวิธีการเดียวกันสามารถเขียนสมการที่แสดงทรงกลม n มิติ Snได้เป็นพื้นผิวในอวกาศ n + 1 มิติ Rn+1ที่อยู่ห่างจาก

จุดศูนย์กลาง (y1, ... , yn+1) เป็นระยะเท่ากัน

(x1- y1)2+ ... + (xn+1- yn+1)2= R2

จุดใน Rn+1ระบุได้ด้วยพิกัด (x1, ... , Xn+1)


Return to contents

ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ

ในอวกาศสามมิติ R3สามารถระบุตำแหน่งของจุดต่าง ๆ ได้ด้วยค่าพักัดสามค่า เช่น (x, y, z) ในระบบพิกัดฉาก นอกจากนี้

ยังสามารถระบุตำแหน่งของจุดใน R3ในระบบพิกัดอื่น ๆ ได้อีกด้วย เช่น ระบบพิกัดทรงกลม และระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นต้น

ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ

พิจารณาจุดใน R3ที่มีพิกัดเป็น (x,y,z) ดังรูป 1 จุด (x,y,z) สามารถ

กำหนดให้มีค่าพิกัดในระบบพิกัดทรงกลมได้เป็น (r, θ,Ø) ดังรูป 2 ในที่นี้ r เป็นระยะทางจากจุดกำเนิด (0,0,0)θ เป็นมุมที่วัด

จากแกน z และØ เป็นมุมที่วัดจากแกน x มายังโปรเจกชันของ r บนระนาบ xy

จากรูป 2 จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง พิกัด (x,y,z) และ (r,θ,Ø) เป็น

z = r cosθ -----(1)

x = r sinθ cosØ -----(2)

y = r sinθ sinØ -----(3)

ซึ่งสามารถหาอินเวอร์สได้เป็น

พิสัยของค่าพิกัด (x,y,z) คือ

-∞ < x <∞ , -∞ < y <∞ , -∞ < z <∞

ส่วนค่าพิสัยของพิกัด (r,θ,Ø) หาได้ดังนี้

เนื่องจากจึงได้ r≥ 0

สำหรับØ จะพบว่า 0≤Ø≤ 2Π เนื่องจาก y/x ให้ค่า tanØ ได้ทุกค่าในช่วง (-∞,∞) สำหรับθ จะได้ว่า 0≤θ≤Π

เนื่องจาก cos-1มีค่าอยู่ในช่วง [0,Π] จึงสรุปได้ว่า ในพิกัดทรงกลม

r≥ 0 , 0≤θ≤Π, 0≤Ø≤ 2Π

การใช้พิกัดทรงกลมทำให้เขียนสมการบางอย่างได้ง่ายขึ้น เช่น วงกลมรัศมี R และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดมีสการใน

ระบบพิกัดฉากเป็น

x2+ y2+ z2= R2

เมื่อใช้ความสัมพันธ์ (1), (2) และ (3) จะได้สมการในรูปแบบง่าย ๆ คือ

r = R


Return to contents

ระบบพิกัดทรงกลมใน n มิติ

พิจารณาอวกาศ Rnที่ระบุตำแหน่งของจุดใด ๆ ด้วยพิกัด n ค่า (x1, ... , xn) ในที่นี้ จะแสดงวิธีการระบุตำแหน่งของจุดใ Rnด้วย

พิกัดทรงกลม ให้จุด P(x1, ... , xn) อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ r จะได้ว่า

r2= x12+ x22+ ... + xn2-----(1)


ในระบบพิกัดทรงกลม จะใช้ค่า r ร่วมกับมุมอีก n-1 ค่าในการระบุตำแหน่งของจุด P พิกัดเชิงมุม θi, i = 1, ... , n-1 คือพิกัดบน

ทรงกลม n-1 มิติที่มีรัศมี r ดังแสดงในสมการ (1) การเขียนพิกัด (x1, ... , xn) ในรูปของ (r, θ1, ... , θn-1) ทำได้โดยแก้สมการ (1)

ดังนี้ ให้ xn= r cos θ1

จากสมการ (1) จะได้ x12+ ... + (xn-1)2= r2sin2θ1-----(2)

จากนั้นให้ xn-1= r sin θ1cos θ2

จากสมการ (2) จะได้ x12+ ... + (xn-2)2= r2sin2θ1sin2θ2-----(3)

จากนั้นให้ xn-2= r sin θ1sin θ2cos θ3

แทนลงใน (3) จะได้

x12+ ... + (xn-3)2= r2sin2θ1sin2θ2sin2θ3


โดยการทำเช่นเดียวกัน ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนถึง x1จะได้ความสัมพันธ์

xn= r cos θ1

xn-1= r sin θ1cos θ2

xn-2= r sin θ1sin θ2cos θ3

•
•
•

x2= r sin θ1... sin θn-2cos θn-1

x1= r sin θ1... sin θn-2sin θn-1

ในลักษณะเดียวกับพิกัดทรงกลมในสามมิติ (r, θ, Ø) สามารถ พิจารณาได้ว่า พิสัยของพิกัด (r, θ1, ... , θn-1) มีค่าเป็น

r ≥ 0 , 0 ≤ θ1≤ Π , 0 ≤ θi≤ Π , i = 2, ... , n-1

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น พิจารณาตัวอย่างของพิกัดทรงกลมใน 4 มิติ ดังต่อไปนี้

พิกัดทรงกลมใน 4 มิติ

พิกัดของจุดใน R4ระบุได้ด้วย (w,x,y,z) ในระบบพิกัดฉาก ในระบบพิกัดทรงกลม (r, θ, Ø, φ) จะได้ว่า

r2= w2+ x2+ y2+ z2

สมการนี้จะเป็นจริงเมื่อให้

z = r cos θ

y = r sin θ cos Ø

x = r sin θ sin Ø cos φ

w = r sin θ sin Ø sin φ

จากความสัมพันธ์ที่ได้ จะพบว่าที่ θ = 0 จะได้ (w, x, y, z) = (0, 0, 0, r) ซึ่งเป็นจุดที่อยู่บนแกน z โดยห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ

r มุม θ จึงกวาดจาก แกน +z ไปยังง -z เนื่องจาก 0 ≤ θ ≤ Π มุมที่เหลือ คือ Ø และ φ จะกวาดไปบนอวกาศ สามมิติ ที่เขียนใน

ระบบพิกัดทรงกลม (r sin θ, Ø, φ) ให้สังเกตว่า พิกัดรัศมี มีค่า เป็น r sin θ จึงอาจกล่าวได้ว่า พิกัดทรงกลมใน R4 เกิดจากการ

รวมกัน ของพิกัดทรงกลมในสามมิติ ที่ทุกค่าของ sin θ ที่ 0 ≤ θ ≤ Π


Return to contents

ลูกบาศก์ในหลายมิติ

รูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญอีกรูปหนึ่งคือ ลูกบาศก์ในสามมิติ ลูกบาศ์กเป็นรูปทรงที่มีความยาวด้านทั้งหมดเท่ากัน โดยมีพื้นผิวทั้ง

หกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังรูป 1

ในบทความนี้ จะกล่างถึงลูกบาศก์ในที่มีมิติมากกว่า 3 โดยจะเริ่มต้นจากจุดศูนย์มิติในรูป 2 จุดศูนย์มิตินี้ อาจพิจารณาได้เป็น

ลูกบาศ์กศูนย์มิติ (ความจริงแล้ว จุดศูนย์มิติ สามารถมองเป็นรูปทรงศูนย์มิติอะไรก็ได้)

หากเลื่อนจุดในรูป 2 ไปทางขวา เป็นระยะหนึ่งหน่วย จะได้เส้นตรงยาวหนึ่งหน่วย ดังรูป 3 ในอีกแง่หนึ่ง สามารถมองว่า

เส้นตรงนี้เป็นลูกบาศก์ในหนึ่งมิติได้ โดยมีหน้าศูนย์มิติสองหน้า (จุดปลายทั้งสองข้าง)

หากเลื่อนเส้นตรงในรูป 3 ในทิศที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ เป็นระยะทางหนึ่งหน่วย จะได้รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส ดังรูป 4 ในทำนอง

เดียวกัน สามารถมองว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นลูกบาศ์กในสองมิติได้ โดยมีหน้าหนึ่งมิติ ทั้งหมดสี่หน้า (ด้านทั้งสี่ของรูป)

เมื่อเลื่อนสี่เหลี่ยมจตุรัสในรูป 4 ออกไปในทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบของรูปเป็นระยะหนึ่งหน่วย จะได้ลูกบาศก์ในสามมิติ

ดังรูป 5 ลูกบาศก์นี้มีหน้าเป็นพื้นผิวสองมิติทั้งหมดหกหน้า

โดยวิธีการเดียวกับที่กล่าวถึงมาทั้งหมดนี้ สามารถนึกภาพของลูกบาศก์ในสี่มิติได้ โดยการเลื่อนลูกบาศก์สามมิติในทิศทางที่

ตั้งฉากกับทิศทางที่ลากสี่เหลี่ยมจตุรัสให้เป็นลูกบาศก์สามมิติ ดังรูป 6 ผลลัพธ์ที่ได้คือ ลูกบาศ์กสี่มิติ ในความเป็นจริง

ลูกบาศก์สี่มิติจะมีหน้าเป็นลูกบาศก์สามมิติ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติ มีหน้าเป็นพื้นผิวสองมิติ โดยจะมีทั้งหมดแปดหน้า

แนวคิดนี้สามารถขยายไปยังลูกบาศก์ n มิติ ใด ๆ ได้ โดยลูกบาศ์ก n มิติ จะมีหน้าเป็นลูกบาศก์ n-1 มิติ ทั้งหมด 2n หน้า

แต่การวาดรูปของลูกบาศก์ที่มีมิติมากกว่าสี่ กระทำได้ยากกว่า


Return to contents
Previous Page 1 / 4 Next Page
หัวเรื่อง และคำสำคัญ
เรขาคณิตหลายมิติ,พื้นผิวสองมิติ,วัตถุที่อยู่ในอวกาศสามมิติ,ความสัมพันธ์ในระบบพิกัดฉาก
ประเภท
Text
รูปแบบการนำเสนอ แบ่งตามผลผลิต สสวท.
สื่อสิ่งพิมพ์ในรูปแบบดิจิทัล
ลิขสิทธิ์
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
วันที่เสร็จ
วันอาทิตย์, 18 มิถุนายน 2560
ผู้แต่ง หรือ เจ้าของผลงาน
ปริญญา การดำริห์
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
คณิตศาสตร์
ระดับชั้น
ม.4
ม.5
ม.6
ช่วงชั้น
มัธยมศึกษาตอนปลาย
กลุ่มเป้าหมาย
ครู
นักเรียน
  • 7348 เรขาคณิตหลายมิติ /lesson-mathematics/item/7348-2017-06-18-04-32-23
    เพิ่มในรายการโปรด
  • ให้คะแนน
    Average rating
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • Share
    • Tweet
    • Share

ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ
  • เกี่ยวกับ SciMath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
  • คำถามที่พบบ่อย
Scimath คลังความรู้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ เป็นหน่วยงานของรัฐที่ไม่แสวงหากำไร ได้จัดทำเว็บไซต์คลังความรู้ SciMath เพื่อส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีทุกระดับการศึกษา โดยเน้นการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหลัก หากท่านพบว่ามีข้อมูลหรือเนื้อหาใด ๆ ที่ละเมิดทรัพย์สินทางปัญญาปรากฏอยู่ในเว็บไซต์ โปรดแจ้งให้ทราบเพื่อดำเนินการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยเร็วที่สุด

The Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (IPST), Ministry of Education, a non-profit organization under the Thai government, developed SciMath as a website that provides educational resources in Science, Mathematics and Technology. IPST invites visitors to use its online resources for personal, educational and other non-commercial purpose. If there are any problems, please contact us immediately.

Copyright © 2018 SCIMATH :: คลังความรู้ SciMath. Terms and Conditions. Privacy. , All Rights Reserved. 
อีเมล: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. (ให้บริการในวันและเวลาราชการเท่านั้น)