logo IPST4 IPST4
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • learning space
  • ระบบอบรมครู
  • ระบบการสอบออนไลน์
  • ระบบคลังความรู้
  • สสวท.
  • สำนักงานสลากกินแบ่ง
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • E-Books อื่นๆ
  • Apps
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • คำถามที่พบบ่อย
  • สมัครสมาชิก
  • Forgot your password?
ค้นหา
    
ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
เลือกหมวดหมู่
    
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

โดย :
ปริญญา การดำริห์
เมื่อ :
วันอาทิตย์, 18 มิถุนายน 2560
Hits
81614
  • 1. Introduction
  • 2. สมบัติของกราฟฟังก์ชัน Sine และ Cosine
  • 3. การเขียนกราฟของฟังก์ชัน Sine และ Cosine
  • - All pages -

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 


กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิตินับว่ามีความสำคัญต่อการประยุกต์ใช้งานทางด้านวิทยาศาสตร์เป็นอย่างมาก เนื่องจาก ปริมาณต่าง ๆ ในทางวิทยาศาสตร์ ที่มีการเปลี่ยนแปลงอยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สามารถทำความเข้าใจได้ง่ายขึ้น เมื่อพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน

ในบทความนี้ จะพิจารณากราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine การนิยามฟังก์ชัน sine และ cosine สามารถทำได้โดยพิจารณาวงกลมรัศมี 1 หน่วย ดังรูป 1

 

กราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine การนิยามฟังก์ชัน sine และ cosine สามารถทำได้โดยพิจารณาวงกลมรัศมี 1 หน่วย

ภาพที่ 1 จะพิจารณากราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine การนิยามฟังก์ชัน sine และ cosine สามารถทำได้โดยพิจารณาวงกลมรัศมี 1 หน่วย

มุมθ ภายในวงกลมรัศมี 1 หน่วย จะมีค่าเท่ากับความยาวส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้น เนื่องจาก

เมื่อ a แทนความยาวส่วนโค้งที่รองรับมุมθ ในกรณีที่ r = 1 จะได้θ = a

ค่าของมุมθ จะวัดจาก จุด (1,0) ไปยังจุดปลายของส่วนโค้งของวงกลม ในรูป 1 จุด P(x,y) แทนจุดปลายส่วนโค้งที่รองรับมุมθ ฟังก์ชัน sinθ และ cosθ นิยามเป็นค่าพิกัด y และ x ของจุด P ตามลำดับ นั่นคือ

x = cosθ

y = sinθ

ในการเขียนกราฟของฟังก์ชัน sinθ สามารถทำได้โดย นำค่าความยาวส่วนโค้ง (θ) มาใส่บนแกนนอน และ นำค่า พิกัด y ซึ่งให้ค่า sinθ มาใส่บนแกนตั้ง ดังรูป 2

กราฟของฟังก์ชัน sinθ สามารถทำได้โดย นำค่าความยาวส่วนโค้ง (θ) มาใส่บนแกนนอน และ นำค่า พิกัด y ซึ่งให้ค่า sinθ มาใส่บนแกนตั้ง

ภาพที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน sinθ สามารถทำได้โดย นำค่าความยาวส่วนโค้ง (θ) มาใส่บนแกนนอน และ นำค่า พิกัด y ซึ่งให้ค่า sinθ มาใส่บนแกนตั้ง

ในรูป 2 แสดงการเขียนกราฟของ sinθ กับθ สำหรับ 0≤θ≤∏/2 โดยการทำเช่นเดียวกันนี้ กับค่าθ อื่น ๆ

จะได้กราฟของ sinθ เป็นดังรูป 3

การเขียนกราฟของ sinθ กับθ สำหรับ 0≤θ≤∏/2 โดยการทำเช่นเดียวกันนี้ กับค่าθ อื่น ๆจะได้กราฟของ sinθ

ภาพที่ 3 การเขียนกราฟของ sinθ กับθ สำหรับ 0≤θ≤∏/2 โดยการทำเช่นเดียวกันนี้ กับค่าθ อื่น ๆจะได้กราฟของ sinθ

การเขียนกราฟของฟังก์ชันของ cosθ ก็ทำได้ในแบบเดียวกัน แต่เปลี่ยนจากการนำค่า y มาใส่บนแกนตั้ง เป็นการนำค่า x มาใส่บนแกนตั้ง แทนดังรูป 4 สำหรับ cosθ เมื่อ 0≤θ≤∏/2

การเขียนกราฟของฟังก์ชันของ cosθ ก็ทำได้ในแบบเดียวกัน แต่เปลี่ยนจากการนำค่า y มาใส่บนแกนตั้ง เป็นการนำค่า x มาใส่บนแกนตั้ง

ภาพที่ 4 การเขียนกราฟของฟังก์ชันของ cosθ ก็ทำได้ในแบบเดียวกัน แต่เปลี่ยนจากการนำค่า y มาใส่บนแกนตั้ง เป็นการนำค่า x มาใส่บนแกนตั้ง

 

เมื่อเขียนค่าθ อื่น ๆ เพิ่มเข้าไปจะได้กราฟของ cosθ ดังรูป 5

 

การเขียนกราฟของฟังก์ชันของ cosθ ก็ทำได้ในแบบเดียวกัน แต่เปลี่ยนจากการนำค่า y มาใส่บนแกนตั้ง เป็นการนำค่า x มาใส่บนแกนตั้ง มื่อเขียนค่าθ อื่น ๆ เพิ่มเข้าไปจะได้กราฟของ cosθ

ภาพที่ 5 ต่อจากภาพที่ 4 เมื่อเขียนค่าθ อื่น ๆ เพิ่มเข้าไปจะได้กราฟของ cosθ


Return to contents

 

 

สมบัติของกราฟฟังก์ชัน sine และ cosine

ฟังก์ชัน sine และ cosine จัดเป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ กล่าวคือ

sin(x + 2Π) = sin x

และ cos(x + 2Π) = cos x

ในกรณีนี้ จะกล่าวว่า sin x และ cos x เป็นฟังก์ชันที่มีคาบเท่ากับ 2Π ในแง่ของกราฟ ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x

จะซ้ำรูปแบบเดิมเป็นช่วงกว้าง 2Π ดังรูป 1

ในกรณี sin x และ cos x เป็นฟังก์ชันที่มีคาบเท่ากับ 2Π ในแง่ของกราฟ ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x จะซ้ำรูปแบบเดิมเป็นช่วงกว้าง 2Π ดังรูป 1

ภาพที่ 6 ในกรณี sin x และ cos x เป็นฟังก์ชันที่มีคาบเท่ากับ 2Π ในแง่ของกราฟ ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x จะซ้ำรูปแบบเดิมเป็นช่วงกว้าง 2Π ดังรูป 1

จากรูป 1 กราฟในช่วง [0,2Π] จะมีลักษณะเหมือนกับกราฟในช่วง [2Π,4Π] เนื่องจากค่าของ -1 ≤sin x ≤1 และ

-1 ≤cos x ≤1จะพบว่ากราฟของ sin x และ cos x มีค่าสูงสุดเป็น 1 และ ค่าต่ำสุดเป็น -1 ขนาดของค่าสูงสุด

รียกว่า แอมพลิจูดของกราฟ

ค่าแอมพลิจูดของกราฟ สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยคูณฟังก์ชัน sin x หรือ cos x ด้วยค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น กราฟ y = 5 sin x

จะมีค่า -5 ≤y ≤5 นั่นคือ มีแอมพลิจูดเท่ากับ 5 เป็นต้น

คาบของฟังก์ชัน อาจมีค่าต่างจาก 2Π ก็ได้ หากมีค่าคงที่คูณอยู่กับ x เช่น กราฟ y = sin 2x จะมีคาบเป็นΠ เนื่องจาก

y(x +Π) = sin 2(x + Π) = sin (2x + 2Π) = sin 2x = y(x)

จากการพิจารณาที่ผ่านมา สามารถสรุปลักษณะกราฟ ของฟังก์ชัน sine ในรูปแบบทั่วไป ได้ดังนี้ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน

y = A sin Bx ----(1)

โดยที่ A และ B เป็นจำนวนจริง

กราฟของสมการ (1) มีแอมพลิจูด เท่ากับ |A| เนื่องจาก -|A|≤ y≤ |A| และมีคาบเป็น 2Π/B เนื่องจาก

ในรูปแบบเดียวกัน จะได้ว่ากราฟของฟังก์ชัน

y = A cos BX

มีแอมพลิจูดเป็น (A) และ มีคาบเป็น 2Π/B กราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine

แสดงในรูป 2

 

ภาพ ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x ที่มี แอมพลิจูดเป็น (A) และ มีคาบเป็น 2Π/B กราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine

ภาพที่ 7 ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x ที่มี แอมพลิจูดเป็น (A) และ มีคาบเป็น 2Π/B กราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine


Return to contents

การเขียนกราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine

 


โดยใช้แนวคิดของการเลื่อนกราฟ สามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป

y = A sin (Bx -C) + k ----(1)

ได้ดังนี้ ให้ h = C/B สามารถเขียนสมการ (1) ได้เป็น

y-k = A sin (B(x-h))

ซึ่งเป็นสมการ y' = A sin Bx' ที่เกิดจาก การเลื่อนจุดกำเนิดจาก (0,0) ไปยัง (h,k) ดังรูป 2

 

 

สมการ y' = A sin Bx' ที่เกิดจาก การเลื่อนจุดกำเนิดจาก (0,0) ไปยัง (h,k)

ภาพที่ 8  ภาพสมการ y' = A sin Bx' ที่เกิดจาก การเลื่อนจุดกำเนิดจาก (0,0) ไปยัง (h,k)

มีข้อควรสังเกต คือ กราฟของสมการ (1) ยังคงมีคาบเท่ากับ 2Π/B

สำหรับกราฟของ ฟังก์ชัน cosine สามารถเขียนได้ โดยใช้สมบัติ

cosθ = sin (θ + Π/2)

จึงได้ว่ากราฟของ y = A cos Bx = A sin (Bx + Π/2) เกิดจากการเลื่อนกราฟของ y = A sin Bx ไปทางซ้ายเป็นระยะ Π/2 เนื่องจากในกรณีนี้ h = -Π/2 ดังแสดงในรูป 3

ภาพกราฟของ y = A cos Bx = A sin (Bx + Π/2) เกิดจากการเลื่อนกราฟของ y = A sin Bx ไปทางซ้ายเป็นระยะ Π/2 เนื่องจากในกรณีนี้ h = -Π/2  

ภาพที่ 9 ภาพกราฟของ y = A cos Bx = A sin (Bx + Π/2) เกิดจากการเลื่อนกราฟของ y = A sin Bx ไปทางซ้ายเป็นระยะ Π/2 เนื่องจากในกรณีนี้ h = -Π/2  

 

 


Return to contents
Previous Page 1 / 3 Next Page
หัวเรื่อง และคำสำคัญ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ,ปริมาณในทางวิทยาศาสตร์,กราฟของฟังก์ชัน sine,กราฟของฟังก์ชัน cosine,นิยามฟังก์ชัน sine,นิยามฟังก์ชัน cosine
ประเภท
Text
รูปแบบการนำเสนอ แบ่งตามผลผลิต สสวท.
สื่อสิ่งพิมพ์ในรูปแบบดิจิทัล
ลิขสิทธิ์
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
วันที่เสร็จ
วันอาทิตย์, 18 มิถุนายน 2560
ผู้แต่ง หรือ เจ้าของผลงาน
ปริญญา การดำริห์
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
คณิตศาสตร์
ระดับชั้น
ม.4
ม.5
ม.6
ช่วงชั้น
มัธยมศึกษาตอนปลาย
กลุ่มเป้าหมาย
ครู
นักเรียน
  • 7346 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ /lesson-mathematics/item/7346-2017-06-18-04-21-28
    เพิ่มในรายการโปรด
  • ให้คะแนน
    Average rating
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • Share
    • Tweet
    • Share

ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ
  • เกี่ยวกับ SciMath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
  • คำถามที่พบบ่อย
Scimath คลังความรู้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ เป็นหน่วยงานของรัฐที่ไม่แสวงหากำไร ได้จัดทำเว็บไซต์คลังความรู้ SciMath เพื่อส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีทุกระดับการศึกษา โดยเน้นการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหลัก หากท่านพบว่ามีข้อมูลหรือเนื้อหาใด ๆ ที่ละเมิดทรัพย์สินทางปัญญาปรากฏอยู่ในเว็บไซต์ โปรดแจ้งให้ทราบเพื่อดำเนินการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยเร็วที่สุด

The Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (IPST), Ministry of Education, a non-profit organization under the Thai government, developed SciMath as a website that provides educational resources in Science, Mathematics and Technology. IPST invites visitors to use its online resources for personal, educational and other non-commercial purpose. If there are any problems, please contact us immediately.

Copyright © 2018 SCIMATH :: คลังความรู้ SciMath. Terms and Conditions. Privacy. , All Rights Reserved. 
อีเมล: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. (ให้บริการในวันและเวลาราชการเท่านั้น)