logo IPST4 IPST4
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • learning space
  • ระบบอบรมครู
  • ระบบการสอบออนไลน์
  • ระบบคลังความรู้
  • สสวท.
  • สำนักงานสลากกินแบ่ง
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • E-Books อื่นๆ
  • Apps
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • คำถามที่พบบ่อย
  • สมัครสมาชิก
  • Forgot your password?
ค้นหา
    
ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
เลือกหมวดหมู่
    
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ

ช่วงและการแก้อสมการ ช่วงและการแก้อสมการ

โดย :
Webmaster tert
เมื่อ :
วันพฤหัสบดี, 25 พฤษภาคม 2560
Hits
81300
  • 1. Introduction
  • 2. 2. การแก้อสมการที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์
  • 3. 3. การแก้อสมการที่มีค่าสัมบูรณ์
  • - All pages -

1. ช่วง

ถ้าเราลากเส้นตรงเส้นหนึ่งแล้วเลือกจุดใดจุดหนี่งบนเส้นตรงนั้นเป็นเป็นจุดแทนจำนวนศูนย์ (0) หลังจากนั้นเลือกหน่วยความยาว แล้วระบุจุดบนเส้นตรงนี้ที่ระยะห่าง 1, 2, 3, … หน่วยทางขวามือของศูนย์เป็นจำนวน 1, 2, 3, … ตามลำดับ และในทำนองดียวกัน ระบุจุดบนเส้นตรงนี้ที่ระยะห่าง 1, 2, 3, … หน่วยทางซ้ายมือของศูนย์เป็นจำนวน -1, -2, -3, … ตามลำดับ

นักคณิตศาสตร์ ถือว่า จำนวนจริงทุกจำนวนจะสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวนนี้ และในทางตรงกันข้าม ทุกจุดบนเส้นจำนวนนี้สามารถเขียนแทนด้วยจำนวนจริงได้ เรียกเส้นตรงแบบนี้ว่า “เส้นจำนวน”

ช่วงแต่ละช่วง หมายถึง เซตของจำนวนจริงใดๆที่เป็นสับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด R ทุกสมาชิกในช่วงช่วงนี้จะสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวนได้ โดยเราสามารถแบ่งช่วงออกเป็น 4 แบบดังนี้

ช่วง


Return to contents

การแก้อสมการ คือ การหาเซตคำตอบของอสมการ ซึ่ง ในที่นี้จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริงและ ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับช่วง ในที่นี้จะแบ่งการแก้อสมการออกเป็นหลายๆรูปแบบดังนี้

รูปแบบที่1การแก้อสมการกำลังหนึ่งอย่างง่าย p(x) < q(x)

การแก้อสมการประเภทนี้สามารถทำได้คล้ายๆกันกับการแก้สมการ โดยข้อแตกต่างจะมาจากการที่คำตอบของอสมการนั้นจะเป็นช่วงของจำนวนจริงแทน ยกตัวอย่างเช่น

จงแก้อสมการต่อไปนี้ 3x – 2 < 2x + 5

วิธีทำ xxxxxx3x – 2 < 2x + 5

xxxxxxxxxx 3x – 2x < 5 + 2

xxxxxxxxxxxxxxxxx x < 7

ดังนั้นเซตคำตอบคือ (–∞, 7)

ข้อสังเกตจะเห็นได้ว่า ขั้นตอนการแก้อสมการนี้เหมือนกันการแก้สมการ ข้อแตกต่างเพียงแค่เปลี่ยน x = 7 ไปเป็น x < 7

 

 

รูปแบบที่2การแก้อสมการกำลังหนึ่งโดยทั่วไป p(x) < q(x) < r(x)

การแก้อสมการรูปแบบนี้ให้ทำการแปลงสมการให้เป็นรูปแบบใหม่ก่อนคือ p(x) < q(x) และ q(x) < r(x) เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

จงแก้อสมการต่อไปนี้ 3x – 2 ≤ 2x + 5 < 5x – 6

วิธีทำจะได้ nnnnnnnnnn3x – 2 ≤ 2x + 5 และ 2x + 5 < 5x – 7

3x – 2x ≤ 5 + 2 และ 5 + 7 < 5x – 2x

x ≤ 7 และ 4 < x

แก้อสมการ2

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, 7] ∩(4, ∞) = (4, 7]

รูปแบบที่3การแก้อสมการกำลังมากกว่าหนึ่ง

การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง มีขั้นตอนดังนี้

1. จัดรูปของสมการให้ข้างใดข้างหนึ่งของสมการเป็นศูนย์ และจัดอีกข้างของสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารโดยการแยกตัวประกอบอย่างเช่น

 

แก้อสมการ3

2. นำค่าวิกฤตทั้งหมดที่ได้มาไปเขียนไว้ในเส้นจำนวน ยกตัวอย่างเช่น

แก้อสมการ4

 

3. เลือกช่วงที่ค่า x ทำให้อสมการเป็นจริงโดยการเขียนช่วงที่ทำให้อสมการมีค่ามากกว่าศูนย์ (+) และ น้อยกว่าศูนย์ (-) จากขวามือไปซ้ายมือตามลำดับ เช่น

แก้อสมการ5

เพื่อให้เห็นภาพและเข้าใจได้ง่ายขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่างดังต่อไปนี้

จงแก้อสมการต่อไปนี้ x3– 2x2< x – 2

วิธีทำ 1. เขียนอสมการใหม่ได้เป็น x3– 2x2– x + 2 < 0

2. แยกตัวประกอบได้ดังนี้ (x + 1)(x – 1)(x – 2) < 0

3. เขียนค่าวิกฤตบนเส้นจำนวนได้ดังนี้

แก้อสมการ6

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, -1] ∩(1, 2)

รูปแบบที่4การแก้อสมการกำลังมากกว่าหนึ่งในกรณีที่มีตัวประกอบซ้ำ

การแก้สมการรูปแบบนี้สามารถแยกเป็นสองกรณีคือ

แก้อสมการ7

ในกรณีที่nเป็นจำนวนเต็มบวก เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น(x-a1)(x-a3) ≤ 0

ในกรณีที่nเป็นจำนวนเต็มลบ เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น (x-a1)(x-a3) ≤ 0 และ x ≠a2

 

แก้อสมการ8

 

ในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น(x-a1)(x-a2)(x-a3) ≤ 0

ในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มลบ เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น (x-a1)(x-a2)(x-a3) ≤ 0และ x ≠ a2

 

แก้อสมการ9

วิธีทำจะได้

แก้อสมการ10

แก้อสมการ11


Return to contents

การแก้อสมการที่มีค่าสัมบูรณ์สามารถแยกพิจารณาตามลักษณะของอสมการได้ดังนี้

รูปแบบที่1การใช้คุณสมบัติของจำนวนจริงที่มีค่าสัมบูรณ์ในการแปลงอสมการ

แบ่งได้เป็นสองกรณีคือ

 

  1. |y| > k สามารถแปลงได้เป็น y < -k หรือ y > k
  2. |y| < k สามารถแปลงได้เป็น -k < y < k

ตัวอย่างจงแก้อสมการ |2x - 3| < x + 7

 

วิธีทำเขียนอสมการใหม่ได้เป็น -(x + 7) < 2x - 3 < x + 7

vvvvแก้อสมการตามปกติ จะได้

-(x + 7) < 2x - 3 และ2x - 3 < x + 7

 

-4 < 3x และx < 10

-4/3 < x และx < 10

 

อสมการสัม1

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (-4/3, 10)

__________________________________________________________________________________________________________________

รูปแบบที่2 ใช้คุณสมบัติยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการได้ดังนี้

  1. |p(x)| < |q(x)| สามารถแปลงอสมการได้เป็น p2(x) < q2(x)
  2. |p(x)| > |q(x)| สามารถแปลงอสมการได้เป็น p2(x) > q2(x)

ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้ |2x – 3| ≥ |x – 4|

 

วิธีทำ ยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการจะได้

(2x – 3)2 ≥ (x – 4)2

(2x – 3)2 – (x – 4)2 ≥ 0


4x2 – 12x + 9) – (x2 – 8x + 16) ≥ 0

3x2 – 20x – 7 ≥ 0

(3x – 1) (x + 7) ≥ 0

อสมการสัม2

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞,–7] υ [1/3, ∞)

___________________________________________________________________________________________

 

รูปแบบที่3 การใช้คุณสมบัติของอสมการ |a + b| < |a| + |b| ก็ต่อเมื่อ ab < 0

จากคุณสมบัตินี้ เราสามารถเขียนอสมการใหม่จาก |p(x) + q(x)| < | p(x) | + | q(x) |ไปเป็น p(x) q(x) < 0

ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้ |x2 – x + 1| < |2x – 1| + |x2 – 3x + 2|

วิธีทำ เขียนสมการใหม่ได้เป็น

(2x – 1)( x2 – 3x + 2) < 0

(2x – 1) (x – 1) (x – 2) < 0

 

อสมการสัม3

 

 

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, 1/2] υ (1, 2)

__________________________________________________________________________________________________

 

รูปแบบที่4 การแยกพิจารณาเป็นช่วงๆ

ในกรณีที่อสมการไม่สามารถแก้ได้โดยการใช้รูปแบบที่กล่าวมาแล้ว

ให้แยกพิจารณาเป็นช่วงๆตามค่าวิกฤตที่หาได้จากนิพจน์ที่มีค่าสัมบูรณ์

เช่น |x – 2| ซึ่งจะได้ค่าวิกฤตเป็น 2 เป็นต้น

เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น ลองพิจารณาจตัวอย่างต่อไปนี้

อสมการสัม4

วิธีทำ จากอสมการข้างบน จะเห็นได้ว่า ค่าวิกฤตสำหรับค่าสัมบูรณ์มี 2 ค่า คือ -1 และ 2/3
นำไปเขียนช่วงการพิจารณาในเส้นจำนวนได้ดังนี้

อสมการสัม5

 

กรณีที่1 x ≤ -1

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ จะเห็นได้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองนิพจน์มีค่าน้อยกว่าศูนย์
เพราะฉะนั้น เราจะเขียนอสมการใหม่ได้เป็น

อสมกานร7

อสมการสัม8



ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, –1] ∩ (–6, –2) = (–6, –2)

กรณีที่2 -1< x < 2/3

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น

อสมการสัม9

อสมการสัม10

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–1, 2/3) ∩ (0, 1/4) = (0, 1/4)

กรณีที่3 x ≥ 2/3

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น

อสมการสัม11

อสมการสัม12

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ [ 2/3, ∞) ∩ (-1, 0) = Ø

เมื่อรวมทุกคำตอบของทุกช่วงจะได้ (–6, –2] υ (0, 1/4) υ Ø = (–6, –2] υ (0, 1/4)


Return to contents
Previous Page 1 / 3 Next Page
หัวเรื่อง และคำสำคัญ
ช่วง,อสมการ,การแก้อสมการ
ประเภท
Text
รูปแบบการนำเสนอ แบ่งตามผลผลิต สสวท.
สื่อสิ่งพิมพ์ในรูปแบบดิจิทัล
ลิขสิทธิ์
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
วันที่เสร็จ
วันพฤหัสบดี, 25 พฤษภาคม 2560
ผู้แต่ง หรือ เจ้าของผลงาน
Webmaster
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
คณิตศาสตร์
ระดับชั้น
ม.4
ม.5
ม.6
ช่วงชั้น
มัธยมศึกษาตอนปลาย
กลุ่มเป้าหมาย
ครู
นักเรียน
  • 7063 ช่วงและการแก้อสมการ ช่วงและการแก้อสมการ /lesson-mathematics/item/7063-2017-05-25-14-45-11
    เพิ่มในรายการโปรด
  • ให้คะแนน
    Average rating
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • Share
    • Tweet
    • Share

ค้นหาบทเรียน
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
  • บทเรียนทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ
  • เกี่ยวกับ SciMath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
  • คำถามที่พบบ่อย
Scimath คลังความรู้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ เป็นหน่วยงานของรัฐที่ไม่แสวงหากำไร ได้จัดทำเว็บไซต์คลังความรู้ SciMath เพื่อส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีทุกระดับการศึกษา โดยเน้นการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหลัก หากท่านพบว่ามีข้อมูลหรือเนื้อหาใด ๆ ที่ละเมิดทรัพย์สินทางปัญญาปรากฏอยู่ในเว็บไซต์ โปรดแจ้งให้ทราบเพื่อดำเนินการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยเร็วที่สุด

The Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (IPST), Ministry of Education, a non-profit organization under the Thai government, developed SciMath as a website that provides educational resources in Science, Mathematics and Technology. IPST invites visitors to use its online resources for personal, educational and other non-commercial purpose. If there are any problems, please contact us immediately.

Copyright © 2018 SCIMATH :: คลังความรู้ SciMath. Terms and Conditions. Privacy. , All Rights Reserved. 
อีเมล: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. (ให้บริการในวันและเวลาราชการเท่านั้น)