logo IPST4 IPST4
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • หนังสือเรียน
    • Ebook อื่นๆ
  • Apps
  • เกี่ยวกับ scimath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • สมัครสมาชิก
  • ลืมรหัสผ่าน
  • คำถามที่พบบ่อย
  • learning space
  • ระบบอบรมครู
  • ระบบการสอบออนไลน์
  • ระบบคลังความรู้
  • สสวท.
  • สำนักงานสลากกินแบ่ง
  • วีดิทัศน์
  • คลังภาพ
  • บทความ
  • โครงงาน
  • บทเรียน
  • แผนการสอน
  • E-Books
    • คู่มือครู
    • คู่มือการใช้หลักสูตร
    • ชุดสื่อ 60 พรรษา
    • E-Books อื่นๆ
  • Apps
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ
ลงชื่อเข้าสู่ระบบ

  • คำถามที่พบบ่อย
  • สมัครสมาชิก
  • Forgot your password?
ค้นหา
    
ค้นหาบทความ
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
เลือกหมวดหมู่
    
  • บทความทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ

ไขปัญหาขุมทรัพย์ กับจำนวนเชิงซ้อน

โดย :
อัมริสา จันทนะศิริ
เมื่อ :
วันอังคาร, 15 มีนาคม 2565
Hits
1327

            เมื่อได้ยินคำว่า  "จำนวนเชิงซ้อน"  หลายคนอาจถึงกับเบือนหน้าหนี เพราะรู้สึกว่าจำนวนเชิงช้อนนั้น ชับซ้อน เป็นนามธรรม และเข้าใจได้ยาก ในบทความนี้ จะขอยกตัวอย่างปัญหาสนุก ๆ ที่อาจทำให้บางคนต้องเปลี่ยนความคิดและหันมาสนใจจำนวนเชิงซ้อน สำหรับคนที่รักคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในเรื่องของจำนวนแล้ว ก็จะหลงเสน่ห์ของจำนวนเชิงซ้อนยิ่งขึ้นไปอีก

            ปัญหาดังกล่าวมีชื่อว่า "Treasure Island Problem" หรือ "เกาะมหาสมบัติ" เรื่องมีอยู่ว่า เด็กหนุ่มนักผจญภัยคนหนึ่งได้ค้นพบชิ้นส่วนที่มีลักษณะคล้ายหนังสัตว์ในกองเอกสารของปู่ทวดของเขา แผ่นหนังสัตว์นั้นได้ระบุลายแทงของที่ซ่อนขุมทรัพย์บนเกาะร้างแห่งหนึ่งโดยเขียนไว้ว่า

            “....เมื่อไปถึงเกาะร้างนั้น จะพบที่แขวนคอนักโทษซึ่งใช้แขวนคอกบฏในอดีต และมีตันโอ๊ก กับตันสนให้เริ่มต้นที่จุดที่พบที่แขวนคอนักโทษ แล้วเดินไปที่ตันโอ๊กพร้อมทั้งนับจำนวนก้าวที่เดิน เมื่อไปถึงต้นโอ๊กให้หันไปทางขวาเป็นมุมฉาก แล้วเดินต่อด้วยจำนวนก้าวเท่ากับที่เดินม าจาที่แขวนคอนักโทษ เมื่อถึงให้ทำเครื่องหมายตรงจุดนั้น จากนั้นให้กลับไปที่แขวนคอนักโทษอีกครั้ง แล้วให้เดินไปที่ต้นสน พร้อมทั้งนับจำนวนก้าวที่เดิน เมื่อไปถึงต้นสนให้หันไปทางซ้ายเป็นมุมฉาก แล้วเดินต่อด้วยจำนวนก้าวเท่ากับที่เดินมาจากที่แขวนคอนักโทษ เมื่อถึงให้ทำเครื่องหมายอีกตรงจุดนั้น จุดที่ฝังขุมทรัพย์อยู่บริเวณกึ่งกลางระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายทั้งสอง"

            จะเห็นว่า ลายแทงได้กล่าวไว้อย่างชัดเจนว่าจะหาขุมทรัพย์ได้อย่างไร แต่ทว่า เมื่อเด็กหนุ่มไปถึงเกาะร้างเขากลับพบเพียงต้นโอ๊กและต้นสน ไม่ว่าเขาจะพยายามหาเท่าไร ก็ไม่พบที่แขวนคอนักโทษบนเกาะนั้น สาเหตุที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะลายแทงนี้ได้ถูกเขียนขึ้นนานมากแล้ว ลม แสงแดด และฝนต่างได้ชะล้างบริเวณที่เคยแสดงที่แขวนคอนักโทษจนไม่เหลือร่องรอย เด็กหนุ่มรู้สึกหมดหวัง และโกรธ จึงเริ่มขุดไปทั่วทั้งเกาะ แต่ความพยายามของเขาไร้ประโยชน์ เนื่องจากเกาะมีขนาดใหญ่มากเขาจึงต้องกลับบ้านมือเปล่าในที่สุด แต่ถ้าเด็กหนุ่มมีความรู้เรื่องคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะเรื่องจำนวนเชิงซ้อน เขาคงค้นพบขุมทรัพย์ไปแล้ว

MathIsland 01

รูปที่ 1 ล่าขุมทรัพย์กับจำนวนเชิงซ้อน (Gamow: 1947)

            การนำจำนวนเชิงซ้อนไปใช้ไขปัญหาขุมทรัพย์นี้ จะต้องทำความเข้าใจความหมายของการคูณจำนวนเชิงซ้อนก่อน จากที่เคยเรียนมาแล้วว่า การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริงเปรียบได้กับการคูณเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์ ตัวอย่างเช่น เมื่อนำจำนวนจริง 3 ไปคูณจำนวนเชิงซ้อน 2+3i จะได้ 6+9i หรือกล่าวว่า

MathIsland 02

รูปที่ 2 การคูณ 2+3i ด้วย 3

 

            ลองพิจารณาการคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย i เมื่อคูณ 1 ด้วย จะได้ i และเมื่อคูณผลคูณด้วย i ไปเรื่อย ๆ จะได้ -1, -i และ 1 ตามลำด้บ สามารถเขียนแสดงในรูปเวกเตอร์ได้ดังรูปที่ 3

MathIsland 03

รูปที่ 3 การคูณ 1 ด้วย i

 

            การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย  เป็นการหมุนเวกเตอร์รอบจุด (0,0) เป็นมุม 90 องศา ในทิศทวนเข็มนาฬิกาในทำนองเดียวกัน การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย -i เป็นการหมุนเวกเตอร์รอบจุด (0,0) ไปเป็นมุม 90 องศาในทิศตามเข็มนาฬิกา

            เมื่อนำลายแทงขุมทรัพย์มาเขียนลงบนระนาบเชิงซ้อน ดังรูปที่ 4 โดยกำหนดจุด R(a.b) แทนตำแหน่งของที่แขวนคอนักโทษ จุด P และ Q แทน ตำแหน่งต้นสนและต้นโอ๊ก ตามลำดับ ให้แกนจริงเป็นเส้นตรงที่ผ่านต้นไม้ทั้งสองต้น และแกนจินตภาพเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนจริงและตัดแกนจริงที่จุดกึ่งกลางระหว่างต้นไม้ทั้งสองโดยไม่เสียนัยทั่วไป เราสามารถกำหนดให้ P มีพิกัดเป็น (1,0) และ Q มีพิกัดเป็น (-1,0)

 

MathIsland 04

รูปที่ 4 ลายแทงขุมทรัพย์บนระนาบเชิงซ้อน

            จะสังเกตเห็นว่า เวกเตอร์ RP ที่เกิดจากการเดินจากที่แขวนคอนักโทษไปยังต้นสน สามารถมองได้เป็นจำนวนเชิงซ้อน (1-a)-bi การหันไปทางซ้ายเป็นมุมฉากเปรียบได้กับการคูณ (1-a)-bi ด้วย i ซึ่งได้เป็น 6+(1-a)I ดังนั้น จากรูปที่ 5 จะได้ว่า พิกัดของจุด M1 คือ (1+b, 1-a)

MathIsland 05

รูปที่ 5 การคำนวณหาพิกัดของจุด M1

             ในทำนองเดียวกัน จะได้พิกัดของจุด M2 คือ (-1-b,1+a) ดังแสดงในรูปที่ 6

MathIsland 06

รูปที่ 6 การคำนวณหาพิกัดของจุด M2

 

MathIsland 07

รูปที่ 7 การคำนวณหาพิกัดของจุดที่ฝังขุมทรัพย์

            จากรูป จะเห็นว่าจุดที่ฝังขุมทรัพย์มีพิกัดเป็น (0,1) ซึ่งก็คือ จุดที่ห่างจากจุดกึ่งกลางของตันไม้ทั้งสองต้นไปทางเหนือ โดยจุดที่ฝังขุมทรัพย์มีระยะห่างจากจุดกึ่งกลางเท่ากับระยะทางจากจุดกึ่งกลางไปยังตันไม้ต้นใดต้นหนึ่งจะสังเกตเห็นว่า พิกัดที่ได้ไม่ขึ้นกับ a และ b เลย นั่นแ เสดงว่า ตำแหน่งของจุดที่ฝังขุมทรัพย์ สามารถหาได้จากตำแหน่งของต้นโอ๊กและตันสน โดยไม่จำเป็นต้องรู้ตำแหน่งที่แขวนคอนักโทษ

            การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย i และ -i ดังที่กล่าวข้างต้น เปรียบได้กับการหมุนเวกเตอร์บนระนาบสองมิติทำให้สามารถแก้ปัญหาข้างต้นได้ง่ายขึ้น ผู้ที่สนใจวิธีคิดอย่างละเอียดสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากสื่อวีดิทัศน์ชุด "Math in My Life เพราะคณิตอยู่ในชีวิตจริง "Season 2 ซึ่งจัดทำโดย สาขาวิชาคณิตศาสตร์ สสวท. ติดตามได้ทาง YouTube ช่อง IPST Thailand

            บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของนิตยสาร สสวท. ผู้อ่านสามารถติดตามบทความที่น่าสนใจเพิ่มเติมได้ที่ https://magazine.ipst.ac.th/

 

บรรณานุกรม

Azad, Kalid. A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers. สืบคั้นเมื่อ 30 พฤษภาคม 2558, จาก http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

Gamow, George. (1947). One, Two, Three ... Infinity: Acts and Speculations of Science.  NY: Dover Publications.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. กระทรวงศึกษาธิการ. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 3 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรู้ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์องค์การค้า สกสค.

สถาบันส่งเสริ่มการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. กระทรวงศึกษาธิการ. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรู้ณิดศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์องค์การค้า สกสค.

หัวเรื่อง และคำสำคัญ
จำนวนเชิงซ้อน, การแก้ปัญหา
ลิขสิทธิ์
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
ผู้แต่ง หรือ เจ้าของผลงาน
อัมริสา จันทนะศิริ
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
คณิตศาสตร์
ระดับชั้น
ป.1
ป.2
ป.3
ป.4
ป.5
ป.6
ม.1
ม.2
ม.3
ม.4
ม.5
ม.6
ช่วงชั้น
ทุกช่วงชั้น
ประถมศึกษาตอนต้น
ประถมศึกษาตอนปลาย
มัธยมศึกษาตอนต้น
มัธยมศึกษาตอนปลาย
กลุ่มเป้าหมาย
ครู
นักเรียน
บุคคลทั่วไป
  • 12573 ไขปัญหาขุมทรัพย์ กับจำนวนเชิงซ้อน /article/item/12573-2022-02-15-07-00-17
    เพิ่มในรายการโปรด
  • ให้คะแนน
    Average rating
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • Share
    • Tweet
    • Share

  • คำที่เกี่ยวข้อง
    การแก้ปัญหา จำนวนเชิงซ้อน
คุณอาจจะสนใจ
การใช้กระบวนการออกแบบเชิงวิศวกรรมเพื่อเสริมสร้างความคิดสร้าง ...
การใช้กระบวนการออกแบบเชิงวิศวกรรมเพื่อเส...
Hits ฮิต (131044)
ให้คะแนน
เยาวชนไทยในยุคปัจจุบันยังขาดการฝึกฝนทักษะทางด้านการคิดไม่ว่าจะเป็นการคิดสร้างสรรค์เพื่อแก้ปัญหา การ ...
ค้นหาบทความ
กลุ่มเป้าหมาย
ระดับชั้น
สาขาวิชา/กลุ่มสาระวิชา
การกรองเปลี่ยนแปลง โปรดคลิกที่ส่งเมื่อดำเนินการเสร็จ
  • บทความทั้งหมด
  • ฟิสิกส์
  • เคมี
  • ชีววิทยา
  • คณิตศาสตร์
  • เทคโนโลยี
  • โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ
  • วิทยาศาสตร์ทั่วไป
  • สะเต็มศึกษา
  • อื่น ๆ
  • เกี่ยวกับ SciMath
  • ติดต่อเรา
  • สรุปข้อมูล
  • แผนผังเว็บไซต์
  • คำถามที่พบบ่อย
Scimath คลังความรู้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ เป็นหน่วยงานของรัฐที่ไม่แสวงหากำไร ได้จัดทำเว็บไซต์คลังความรู้ SciMath เพื่อส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีทุกระดับการศึกษา โดยเน้นการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหลัก หากท่านพบว่ามีข้อมูลหรือเนื้อหาใด ๆ ที่ละเมิดทรัพย์สินทางปัญญาปรากฏอยู่ในเว็บไซต์ โปรดแจ้งให้ทราบเพื่อดำเนินการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยเร็วที่สุด

The Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (IPST), Ministry of Education, a non-profit organization under the Thai government, developed SciMath as a website that provides educational resources in Science, Mathematics and Technology. IPST invites visitors to use its online resources for personal, educational and other non-commercial purpose. If there are any problems, please contact us immediately.

Copyright © 2018 SCIMATH :: คลังความรู้ SciMath. Terms and Conditions. Privacy. , All Rights Reserved. 
อีเมล: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. (ให้บริการในวันและเวลาราชการเท่านั้น)