ช่วงและการแก้อสมการ
Club Information
Name:
ช่วงและการแก้อสมการ
Description:
ในทำนองเดียวกันกับการแก้สมการตัวแปรเดียว การแก้อสมการก็เป็นส่วนสำคัญของพื้นฐานทางคณิตศาสตร์
Created:
จันทร์, 28 กุมภาพันธ์ 2011

องค์ความรู้

การแก้อสมการที่มีค่าสัมบูรณ์สามารถแยกพิจารณาตามลักษณะของอสมการได้ดังนี้

รูปแบบที่1 การใช้คุณสมบัติของจำนวนจริงที่มีค่าสัมบูรณ์ในการแปลงอสมการ

แบ่งได้เป็นสองกรณีคือ
  1. |y| > k สามารถแปลงได้เป็น y < -k หรือ y > k
  2. |y| < k สามารถแปลงได้เป็น -k < y < k

ตัวอย่าง
จงแก้อสมการ |2x - 3| < x + 7


วิธีทำ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น -(x + 7) < 2x - 3 < x + 7

vvvv แก้อสมการตามปกติ จะได้
-(x + 7) < 2x - 3 และ 2x - 3 < x + 7

-4 < 3x และ x < 10

-4/3 < x และ x < 10

อสมการสัม1

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (-4/3, 10)


__________________________________________________________________________________________________________________


 

รูปแบบที่2 ใช้คุณสมบัติยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการได้ดังนี้

  1. |p(x)| < |q(x)| สามารถแปลงอสมการได้เป็น p2(x) < q2(x)

  2. |p(x)| > |q(x)| สามารถแปลงอสมการได้เป็น p2(x) > q2(x)
ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้ |2x – 3| ≥ |x – 4|

วิธีทำ ยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการจะได้

(2x – 3)2 ≥ (x – 4)2

(2x – 3)2 – (x – 4)2 ≥ 0


4x2 – 12x + 9) – (x2 – 8x + 16) ≥ 0

3x2 – 20x – 7 ≥ 0

(3x – 1) (x + 7) ≥ 0

 


อสมการสัม2
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞,–7] υ [1/3, ∞)

___________________________________________________________________________________________

รูปแบบที่3 การใช้คุณสมบัติของอสมการ |a + b| < |a| + |b| ก็ต่อเมื่อ ab < 0


จากคุณสมบัตินี้ เราสามารถเขียนอสมการใหม่จาก   |p(x) + q(x)| < | p(x) | + | q(x) |ไปเป็น p(x) q(x) < 0

ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้ |x2 – x + 1| < |2x – 1| + |x2 – 3x + 2|

วิธีทำ เขียนสมการใหม่ได้เป็น

(2x – 1)( x2 – 3x + 2) < 0

(2x – 1) (x – 1) (x – 2) < 0

อสมการสัม3

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ  (–∞, 1/2] υ (1, 2)


__________________________________________________________________________________________________

 


รูปแบบที่4 การแยกพิจารณาเป็นช่วงๆ

ในกรณีที่อสมการไม่สามารถแก้ได้โดยการใช้รูปแบบที่กล่าวมาแล้ว
ให้แยกพิจารณาเป็นช่วงๆตามค่าวิกฤตที่หาได้จากนิพจน์ที่มีค่าสัมบูรณ์

เช่น |x – 2| ซึ่งจะได้ค่าวิกฤตเป็น 2 เป็นต้น

เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น ลองพิจารณาจตัวอย่างต่อไปนี้

 

อสมการสัม4

วิธีทำ จากอสมการข้างบน จะเห็นได้ว่า ค่าวิกฤตสำหรับค่าสัมบูรณ์มี 2 ค่า คือ -1 และ 2/3
นำไปเขียนช่วงการพิจารณาในเส้นจำนวนได้ดังนี้

อสมการสัม5

กรณีที่1 x ≤ -1

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ จะเห็นได้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองนิพจน์มีค่าน้อยกว่าศูนย์
เพราะฉะนั้น เราจะเขียนอสมการใหม่ได้เป็น

อสมกานร7
อสมการสัม8



ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, –1] ∩ (–6, –2) = (–6, –2)

 


กรณีที่2    -1< x < 2/3

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น

 


อสมการสัม9
อสมการสัม10



ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–1, 2/3) ∩ (0, 1/4) = (0, 1/4)



กรณีที่3     x ≥ 2/3



สำหรับช่วงการพิจารณานี้ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น

อสมการสัม11

อสมการสัม12

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ [ 2/3, ∞) ∩ (-1, 0) = Ø

เมื่อรวมทุกคำตอบของทุกช่วงจะได้ (–6, –2] υ (0, 1/4) υ Ø = (–6, –2] υ (0, 1/4)


 

จันทร์, 28 กุมภาพันธ์ 2011 by พิทยุทธ วงศ์จันทร์

กระทู้

Started by พิทยุทธ วงศ์จันทร์. Last replied by ธัญญารัตน์ on ศุกร์, 06 พฤษภาคม 2011

อัลบั้มรูปภาพ

ยังไม่มีอัลบั้มภาพ

วิดิโอ

ยังไม่มีวิดีโอ

กระดานพูดคุย

link วิทยาศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านวิทยาศาสตร์

ดูลิ้งค์ทั้งหมด

link คณิตศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านคณิตศาสตร์

ดูลิ้งค์ทั้งหมด
ทัศนศึกษาออนไลน์

เพิ่มพูนประสบการณ์ให้ผู้เรียน

พจนานุกรมศัพท์

วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยี